Ce que les fonctions et les équations permettent de calculer — et pourquoi elles ne peuvent pas déterminer une heure sûre pour conduire.
Une question concrète conduit à une fonction affine, une équation de seuil, une étude de variations et une généralisation par une intégrale. L'intérêt du sujet est aussi de comprendre les limites d'un modèle.
Problématique scientifique : un calcul peut-il déterminer une durée d'attente fiable pour la conduite ?
Après une soirée, on entend parfois : « J’ai attendu deux heures, donc je peux conduire. » Pourtant, cette conclusion n’a aucune valeur générale. Deux personnes ayant bu la même quantité peuvent avoir des alcoolémies très différentes, et l’alcoolémie peut encore augmenter après le dernier verre.
Je vais étudier la question : « Combien de temps faut-il attendre pour reprendre le volant après avoir bu de l’alcool ? » Les mathématiques peuvent aider à comprendre l’évolution d’une concentration et à trouver des seuils, mais elles ne permettent pas de garantir qu’une personne est apte à conduire. Mon exposé va justement montrer pourquoi.
On appelle alcoolémie la concentration d’alcool dans le sang, généralement exprimée en grammes par litre. Je la note \(C(t)\). Après consommation, le taux ne décroît pas immédiatement : il existe d’abord une phase d’absorption, au cours de laquelle il peut continuer à monter. Puis vient une phase de diminution progressive.
Pour l’exercice, je choisis de prendre \(t=0\) au moment du pic d’alcoolémie, et non au dernier verre. C’est un choix essentiel : sans connaître ce décalage, on ne peut pas transformer un calcul « depuis le pic » en durée d’attente « depuis le dernier verre ».
La Sécurité routière donne comme ordre de grandeur une diminution de l’ordre de 0,10 à 0,15 gramme par litre et par heure. Il ne s’agit pas d’une vitesse garantie pour chaque individu.
Supposons, uniquement pour construire un exemple mathématique, que le pic soit de \(0{,}9\) g/L et que la diminution se fasse au rythme constant de \(0{,}12\) g/L par heure. Tant que la concentration reste positive, on écrit :
\[\boxed{C(t)=0{,}9-0{,}12t}.\]La fonction est affine et sa dérivée est constante :
\[\boxed{C'(t)=-0{,}12}.\]Le signe négatif signifie que la concentration modélisée diminue. Pour éviter une concentration négative, on peut écrire pour tout \(t\ge0\) :
\[\boxed{C(t)=\max(0\,;\,0{,}9-0{,}12t)}.\]Ce modèle est utile pour apprendre à calculer et à interpréter une pente. Ce n’est ni un test d’alcoolémie ni une formule de décision pour un conducteur.
En France, pour un conducteur titulaire d’un permis classique, la limite légale est strictement inférieure à \(0{,}5\) g/L. Le modèle permet de calculer l’instant où la courbe fictive atteint cette valeur en résolvant :
\[0{,}9-0{,}12t=0{,}5.\]On trouve :
\[0{,}12t=0{,}4,\qquad t=\frac{0{,}4}{0{,}12}=\frac{10}{3}.\]Autrement dit, le franchissement mathématique se produit 3 h 20 après le pic dans ce modèle précisément choisi. Au moment de l’égalité, le seuil légal est encore atteint : ce n’est pas un feu vert pour conduire.
Le rôle des mathématiques est ici de résoudre une équation et de définir ce que mesure vraiment la réponse.
Pour un permis probatoire, la limite est plus basse : il faut rester strictement sous \(0{,}2\) g/L. Dans le même exercice fictif, on résout :
\[0{,}9-0{,}12t=0{,}2\] \[t=\frac{0{,}7}{0{,}12}=\frac{35}{6}\approx5{,}83\text{ h}.\]Cela correspond à 5 h 50 après le pic pour la courbe choisie. La différence entre les deux résultats ne vient pas d’un changement de métabolisme : elle vient uniquement d’un seuil mathématique différent. Elle ne renseigne toujours pas sur la capacité effective à conduire.
J’ai choisi une diminution de \(0{,}12\) g/L par heure. Pourtant, les ordres de grandeur publics mentionnent plutôt une plage autour de \(0{,}10\) à \(0{,}15\) g/L par heure, avec des variations selon les personnes.
En gardant le même pic hypothétique de \(0{,}9\) g/L, mais en notant \(r\) le rythme de diminution, le temps mathématique correspondant au seuil de \(0{,}5\) g/L est :
\[\boxed{T(r)=\frac{0{,}9-0{,}5}{r}=\frac{0{,}4}{r}}.\]Avec \(r=0{,}15\), on obtient \(T\approx2\) h 40 ; avec \(r=0{,}10\), on obtient \(T=4\) h. La seule incertitude sur la pente produit donc 1 h 20 d’écart entre deux résultats du modèle.
En plus, le pic lui-même est inconnu, et l'absorption continue parfois après le dernier verre. On comprend pourquoi un calcul isolé ne peut jamais donner une heure fiable à une personne réelle.
La formule générale est \(T(r)=(C_0-L)/r\), à condition que le pic \(C_0\) soit supérieur au seuil \(L\) et que \(r>0\). Pour un pic et un seuil fixés, une diminution plus lente, donc un \(r\) plus petit, donne un temps plus long.
On le démontre avec la dérivée :
\[T'(r)=-\frac{C_0-L}{r^2}<0.\]La fonction \(T\) est strictement décroissante par rapport à \(r\). Ce passage mobilise une notion classique de Terminale : étudier comment le résultat d’un calcul dépend d’un paramètre. Il montre qu’une estimation unique cache toute une famille de résultats possibles.
Le modèle affine suppose une vitesse de diminution constante. On peut imaginer un modèle plus général où cette vitesse dépend du temps : je la note \(r(t)\), supposée positive dans la phase de diminution. On écrit alors :
\[\boxed{C'(t)=-r(t)}.\]En intégrant entre 0 et \(T\) :
\[\boxed{C(T)=C(0)-\int_0^T r(u)\,du}.\]Cette formule est une application directe du lien entre dérivée et intégrale. Elle montre que la baisse totale d’alcoolémie correspond à l’accumulation de petites diminutions successives. Lorsque \(r(t)=r\) est constant, l’intégrale vaut \(rT\) et on retrouve le modèle affine initial.
C’est une généralisation mathématique, mais elle ne résout pas le problème pratique : il faudrait connaître réellement la fonction \(r(t)\) de l’individu.
À consommation identique, l’alcoolémie dépend du poids, du sexe, de l’état de santé, de l’alimentation, de la durée d’absorption et d’autres facteurs. Ni un nombre de verres ni une durée standard ne permettent de calculer personnellement une alcoolémie fiable.
De plus, les capacités nécessaires pour conduire — vigilance, coordination, jugement, temps de réaction — peuvent être altérées même à faible alcoolémie. Un café, une douche ou du sport ne font pas disparaître rapidement l’alcool présent dans l’organisme.
La recommandation pratique est donc simple : si l’on a bu, on ne conduit pas. On prévoit un conducteur sobre, un autre transport ou une solution pour rester sur place.
Les fonctions, les dérivées et les intégrales permettent de représenter une diminution d’alcoolémie, de résoudre une équation de seuil et d’étudier l’effet d’une incertitude.
Mais le calcul dépend d’hypothèses que nous ne pouvons pas vérifier à partir du seul temps écoulé : valeur du pic, moment du pic, rythme de diminution et état réel du conducteur.
La réponse à la problématique n’est donc pas un nombre d’heures universel. Le résultat le plus important est de savoir distinguer un modèle mathématique utile pour comprendre d’une décision de sécurité que ce modèle ne peut pas autoriser.
Tracer une droite décroissante partant d'un pic fictif, représenter deux seuils horizontaux, poser \(C(t)=C_0-rt\) puis montrer que la durée calculée varie fortement avec la pente. Les courbes ont été tracées avec des graduations et des valeurs exactes.
En France, il est interdit de conduire à partir de 0,5 g/L pour le permis classique et à partir de 0,2 g/L pour le permis probatoire. La limite légale n'est pas un seuil garantissant l'absence de perturbation des capacités. L'alcoolémie varie entre personnes et selon les circonstances ; le moment du pic est incertain ; la diminution n'est pas parfaitement linéaire. On ne peut donc pas déduire une autorisation réelle à partir du modèle.
Pour éviter toute conduite après consommation, prévoir un conducteur qui n'a pas bu, un taxi, un transport collectif ou un hébergement. Un éthylotest peut informer sur une mesure à un instant donné, mais ne valide pas les prédictions d'un modèle et ne garantit pas l'aptitude.
Informations réglementaires françaises vérifiées en octobre 2026.