Une question concrète et accessible
Pourquoi 23 personnes suffisent-elles pour dépasser 50 % de chances de partager un anniversaire ?
Événement contraireIndépendanceProduit de probabilitésDénombrementModélisation
« Plus d’une chance sur deux » ne veut pas dire « presque sûrement ». Le titre pose une question étonnante, mais le résultat précis est 50,73 % pour 23 personnes. Nous excluons le 29 février.
Le raisonnement est guidé sans appauvrir les mathématiques : l'essentiel est de comprendre les hypothèses et de savoir refaire les calculs.
Exposé rédigé — environ 10 minutes
Un script pour s'entraîner et non un texte à réciter : reconstruire les explications avec ses mots et marquer des pauses au moment des formules.
00:00 – 01:05Une coïncidence qui paraît impossible
Imaginez une classe de vingt-trois élèves. Je vous demande : quelle est la chance qu'au moins deux personnes soient nées le même jour de l'année, sans forcément être nées la même année ? Beaucoup répondraient que vingt-trois, c'est trop petit face aux trois cent soixante-cinq jours possibles. Et pourtant, dans un modèle simple, la probabilité dépasse une chance sur deux. Ce problème porte le nom de paradoxe des anniversaires. Ce n'est pas un paradoxe au sens où les mathématiques se contredisent : c'est notre intuition qui se trompe. Je vais présenter les hypothèses, trouver une manière facile de calculer cette probabilité et comprendre pourquoi le résultat est si surprenant.
01:05 – 02:12Définir exactement le hasard
Je commence par choisir un modèle. Je considère une année de trois cent soixante-cinq jours ; je ne prends pas en compte le 29 février. Je suppose que chaque jour est aussi probable qu'un autre comme date de naissance et que les dates d'anniversaire des personnes sont indépendantes. Dans la réalité, les naissances ne sont pas uniformément réparties dans l'année, et les jumeaux peuvent rendre l'indépendance discutable. Mon résultat sera donc exact dans le modèle, mais non universel dans la réalité. Je précise aussi la question : je ne cherche pas quelqu'un né le même jour que moi, mais n'importe quelle paire de personnes qui partage sa date.
02:12 – 03:15Une question qui cache beaucoup de paires
Dans un groupe de vingt-trois personnes, combien peut-on former de paires différentes ? Pour chaque personne, il y a vingt-deux partenaires possibles. Ce calcul compte chaque paire deux fois, donc il faut diviser par deux : vingt-trois multiplié par vingt-deux, puis divisé par deux, donne deux cent cinquante-trois paires. Voilà la première surprise : même si le groupe est petit, il y a beaucoup de comparaisons possibles. Mais attention, on ne peut pas additionner naïvement la probabilité de coïncidence de chacune des paires, car leurs événements ne sont pas incompatibles. Une même classe peut contenir plusieurs coïncidences. Nous allons donc choisir une voie plus sûre.
03:15 – 04:28L’astuce : compter les groupes sans coïncidence
Au lieu de calculer directement la chance qu'au moins deux anniversaires coïncident, calculons la probabilité que tous soient différents. Pour la première personne, n'importe quel jour convient : trois cent soixante-cinq chances sur trois cent soixante-cinq. Pour la deuxième, il faut éviter le jour déjà pris : trois cent soixante-quatre chances sur trois cent soixante-cinq. Pour la troisième, il faut éviter deux jours : trois cent soixante-trois chances sur trois cent soixante-cinq. On continue ainsi. Grâce au modèle d'indépendance des dates, on peut multiplier les probabilités conditionnelles successives, ce qui conduit au produit de fractions que je vais écrire.
04:28 – 05:30La formule exacte
Pour un groupe de \(n\) personnes, tant que \(n\) ne dépasse pas trois cent soixante-cinq, la probabilité que toutes les dates soient différentes est \[Q_n=\frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\times\cdots\times\frac{365-n+1}{365}.\] L'événement recherché est exactement le contraire, donc \[\boxed{P_n=1-Q_n}.\] C'est la même idée que pour calculer la probabilité d'obtenir au moins un six avec un dé : parfois il est bien plus simple de calculer l'échec de l'événement demandé. La formule est facile à expliquer au jury, à condition de justifier chaque facteur. Il ne s'agit pas de mémoriser un produit sans savoir ce qu'il signifie.
05:30 – 06:32Pourquoi le seuil est-il franchi à 23 ?
Avec une calculatrice ou un programme de quelques lignes, on multiplie les fractions. Pour vingt-deux personnes, la probabilité qu'au moins deux anniversaires coïncident est d'environ quarante-sept virgule cinquante-sept pour cent. Pour vingt-trois personnes, elle atteint cinquante virgule soixante-treize pour cent. C'est donc exactement le vingt-troisième membre du groupe qui fait passer la probabilité au-dessus de la moitié. Dans ma figure, la courbe monte régulièrement avec le nombre de personnes, et la ligne horizontale à cinquante pour cent rend ce passage visible. Rien de mystérieux : une personne supplémentaire crée vingt-deux comparaisons de plus.
06:32 – 07:35Ne pas confondre deux questions
Il existe une autre question très différente : dans une classe de vingt-trois personnes, quelle est la probabilité qu'une personne ait précisément mon anniversaire ? Si les dates des vingt-trois personnes sont indépendantes de la mienne, la réponse est \(1-(364/365)^{23}\), soit environ six pour cent. Ce n'est pas du tout le cinquante pour cent précédent. Pourquoi ? Parce que, dans la première question, les dates peuvent coïncider entre n'importe quelles deux personnes, alors que dans la seconde on compare uniquement avec une date particulière. La façon de formuler une question change parfois radicalement le calcul.
07:35 – 08:48Vérifier par une expérience
Pour tester notre formule, je peux utiliser une petite simulation. L'ordinateur tire au hasard vingt-trois dates parmi trois cent soixante-cinq possibilités, en autorisant les répétitions. Dès qu'une date apparaît une deuxième fois, le groupe est considéré comme ayant une coïncidence. Je recommence par exemple mille fois et je calcule la fréquence des groupes qui possèdent au moins une paire. Cette fréquence doit souvent se trouver près de cinquante et un pour cent, mais elle n'est pas fixée à cette valeur : elle fluctue. C'est une bonne occasion de rappeler qu'une probabilité théorique ne signifie pas que chaque série de cent expériences donnera exactement le même résultat.
08:48 – 10:00Une leçon sur les probabilités
Ce problème nous apprend trois choses. D'abord, les événements contraires donnent parfois une formule très simple à partir d'un problème qui paraît compliqué. Ensuite, le nombre de comparaisons possibles grandit très vite : vingt-trois personnes fabriquent deux cent cinquante-trois paires. Enfin, les mathématiques répondent avec précision à une question seulement après avoir précisé son modèle. Les dates de naissance ne sont pas parfaitement équiprobables dans la vraie vie ; il faut donc être prudent en appliquant le résultat à une classe réelle. Ce que je retiens est un outil : savoir distinguer une intuition, une hypothèse et un calcul démontré. C'est ce qui rend les probabilités utiles pour penser le monde.
Les calculs à savoir refaire au tableau
Dans un groupe de \(n\) personnes, on suppose 365 dates indépendantes et équiprobables. L’événement \(A_n\) signifie : « au moins deux personnes partagent une date ». Son contraire signifie : « toutes les dates sont distinctes ».
\[P(\overline A_n)=\frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\times\cdots\times\frac{365-n+1}{365}.\]
\[\boxed{P(A_n)=1-\prod_{k=0}^{n-1}\frac{365-k}{365}}.\]
\[P(A_{22})\approx 0{,}4757<0{,}5,\qquad P(A_{23})\approx0{,}5073>0{,}5.\] Il suffit de 23 personnes pour dépasser le seuil de 50 %, dans ce modèle.
À 23 personnes, le nombre de paires est \(\binom{23}{2}=23\times22/2=253\). Ce nombre aide l'intuition, mais additionner 253 probabilités \(1/365\) serait incorrect : les événements se recouvrent.
Support visuel reproductible en 20 minutes
Reproduire les axes, la formule, la valeur clé et la principale hypothèse suffit. L'illustration ci-dessous est une aide à la préparation, pas un objet à mémoriser intégralement.
Conseil : explique le schéma en pointant les éléments importants, sans lire un texte.
15 questions du jury — avec réponses détaillées
Commencer par les cinq premières questions, puis s’entraîner à répondre sans lire.
1. Que cherche-t-on exactement ?
La probabilité qu'au moins une paire de personnes ait la même date d'anniversaire.
2. Pourquoi utilise-t-on 365 ?
On simplifie le modèle en retirant le 29 février.
3. Les anniversaires sont-ils réellement équiprobables ?
Non. C'est une hypothèse pédagogique du modèle, qui permet un calcul exact.
4. Quelle est la probabilité que la deuxième date soit différente ?
364/365, une fois la première date connue.
5. Pourquoi le troisième facteur est-il 363/365 ?
Il faut éviter les deux dates déjà utilisées, si elles sont distinctes.
6. Pourquoi calculer le contraire ?
Le contraire, toutes dates distinctes, est facile à décomposer en étapes successives.
7. Pourquoi multiplie-t-on des fractions ?
On calcule les probabilités conditionnelles des dates successives ; l'indépendance du modèle permet les valeurs simples indiquées.
8. Que vaut le résultat pour 22 personnes ?
Environ 47,57 %, donc moins d'une chance sur deux.
9. Pour 23 personnes ?
Environ 50,73 %, légèrement plus d'une chance sur deux.
10. Pourquoi parler de paradoxe ?
Parce que le résultat contredit notre intuition, pas parce qu'il y a une contradiction logique.
11. Combien de paires peut-on former avec 23 élèves ?
253, car 23×22/2=253.
12. Pourquoi ne pas additionner 253 fois 1/365 ?
Les événements de coïncidence de paires ne sont pas incompatibles ; une addition compterait certains cas plusieurs fois.
13. Quelle est la différence avec mon anniversaire ?
Chercher si quelqu'un a ma date correspond à un événement unique de référence, pas à toutes les paires possibles.
14. Que montre la simulation ?
La fréquence empirique se rapproche en général de la probabilité théorique lorsque l'on augmente le nombre d'essais, sans lui être toujours égale.
15. Comment expliquer le modèle au jury ?
J'annonce jours équiprobables, indépendance entre personnes et exclusion du 29 février.