Une question concrète et accessible
Pourquoi une boîte de conserve économe en métal devrait-elle être presque aussi haute que large ?
GéométrieFonction rationnelleDérivationTableau de variationsOptimisation
Le résultat correspond à une boîte cylindrique fermée et idéale, de paroi d'épaisseur négligeable. Les vraies boîtes obéissent aussi à des contraintes industrielles et pratiques.
Le parcours est guidé pour aider à comprendre le raisonnement. Il ne s'agit pas d'une étiquette sur le niveau de l'élève : la qualité de l'oral repose sur la maîtrise réelle des calculs et des explications.
Exposé rédigé — environ 10 minutes
Ne récite pas tout mot à mot : entraîne-toi à expliquer les idées avec tes mots, et à refaire les calculs sur une feuille.
00:00 – 01:05Une question de cuisine et d’économie
Regardons une boîte de conserve : c'est un objet banal, qu'on croise dans toutes les cuisines. Pourtant, sa forme pose un problème mathématique très concret. Si une usine doit fabriquer des milliers de boîtes, quelques centimètres carrés de métal économisés sur chacune peuvent faire une différence importante. Je vais supposer qu'une boîte doit contenir exactement le même volume d'aliments. Je dois donc choisir les dimensions, sans augmenter ni diminuer la quantité contenue. Ma question est simple : quel rayon et quelle hauteur donnent la plus petite surface métallique possible ? Nous allons voir qu'une dérivée permet de trouver une réponse assez inattendue.
01:05 – 02:10Choisir un modèle simple
Pour rester au niveau de la Terminale, je vais modéliser la boîte par un cylindre droit, fermé par deux disques : un dessus et un dessous. J'appelle \(r\) son rayon, \(h\) sa hauteur et \(V\) son volume. Tous les nombres sont positifs. Dans ce premier modèle, je néglige les rebords, l'épaisseur de la tôle, les soudures et la facilité de prise en main. Ce ne sont pas des détails réels sans importance : c'est simplement une première simplification qui rend le problème accessible. Je cherche à économiser du métal, donc à réduire la surface extérieure, sans toucher au volume. Pour le calcul, je mesurerai les longueurs en centimètres et les surfaces en centimètres carrés. Cette attention aux unités est importante : une formule correcte peut produire une réponse incompréhensible si l'on mélange les unités.
02:10 – 03:16Exprimer le volume
Le volume d'un cylindre se calcule avec l'aire de sa base multipliée par sa hauteur. Comme la base est un disque de rayon \(r\), son aire est \(\pi r^2\). Ainsi, \[V=\pi r^2h.\] Pour donner une valeur concrète, choisissons un volume fictif de \(500\,\text{cm}^3\), c'est-à-dire un demi-litre. Je pourrais choisir un petit rayon et une très grande hauteur, ou l'inverse. Mais ces dimensions ne sont pas indépendantes : si je modifie le rayon, la hauteur doit changer pour maintenir la contenance. Je peux donc écrire \(h=V/(\pi r^2)\). C'est l'étape qui transforme notre problème géométrique en étude d'une seule variable.
03:16 – 04:24Quelle quantité de métal faut-il ?
La surface totale d'une boîte fermée comprend les deux disques, d'aire totale \(2\pi r^2\), et la surface latérale. Si je déroule la paroi latérale, elle devient un rectangle de largeur égale au périmètre de la base, \(2\pi r\), et de hauteur \(h\). Son aire est donc \(2\pi rh\). Au total, \(S=2\pi r^2+2\pi rh\). En utilisant l'expression de la hauteur, j'obtiens \[\boxed{S(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}}.\] Voilà la fonction à minimiser. Elle donne la surface de métal en fonction du rayon uniquement, à volume imposé. Je garde les deux bases dans le calcul : oublier le fond ou le couvercle modifierait le problème, et conduirait à une autre forme optimale. La contrainte physique choisie fait partie de la question mathématique.
04:24 – 05:32Deux mauvais extrêmes
Avant toute dérivation, observons les extrêmes. Si le rayon devient très petit, la boîte doit être très haute pour conserver son volume. Le terme \(2V/r\) devient immense, donc la surface augmente beaucoup. Si au contraire le rayon devient énorme, les deux couvercles occupent une surface gigantesque, puisque le terme \(2\pi r^2\) grandit. On devine qu'entre ces deux extrêmes existe un juste milieu. Ce raisonnement qualitatif me semble essentiel : je ne veux pas seulement faire de l'algèbre, je veux comprendre pourquoi un minimum doit apparaître. J'imagine d'abord une boîte très fine, comme une longue paille, puis une boîte extrêmement aplatie. Ce simple dessin aide à anticiper le résultat du tableau de variations avant même que la calculatrice soit utilisée.
05:32 – 06:40Une dérivée pour chercher le minimum
Je dérive ma fonction pour \(r>0\) : \[S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}.\] Je peux la mettre sous la forme \(S'(r)=(4\pi r^3-2V)/r^2\). Comme le dénominateur est positif, le signe dépend de \(4\pi r^3-2V\). Cette expression s'annule pour \(r^3=V/(2\pi)\). Avant cette valeur, la dérivée est négative et la surface diminue ; après, elle est positive et la surface augmente. La fonction atteint donc son minimum à ce rayon précis. J'ai bien démontré un minimum, et pas simplement trouvé une valeur qui annule la dérivée.
06:40 – 07:38Le résultat surprenant : hauteur égale diamètre
Le calcul conduit à une relation beaucoup plus simple qu'une valeur numérique : \(V=2\pi r^3\). Or le volume vaut aussi \(V=\pi r^2h\). En comparant ces deux expressions, puis en divisant par \(\pi r^2\), j'obtiens \[\boxed{h=2r}.\] La hauteur doit donc être égale au diamètre du cylindre. C'est un résultat élégant : dans ce modèle, la proportion optimale ne dépend pas du volume choisi. Que l'on fabrique une petite boîte ou une très grande, le rapport hauteur sur diamètre vaut toujours un au point optimal. Ce résultat ne signifie pas que la hauteur et le rayon sont égaux : la hauteur égale deux fois le rayon. Comme le diamètre est justement deux fois le rayon, on peut dire plus simplement que la hauteur égale le diamètre.
07:38 – 08:43Un exemple numérique et un contrôle
Pour notre boîte de 500 centimètres cubes, \(r=(500/(2\pi))^{1/3}\approx4,30\) centimètres. La hauteur vaut donc environ \(8,60\) centimètres. En remplaçant dans la formule, la surface minimale est proche de \(348,7\) centimètres carrés. Le schéma de mon support montre une boîte dont la hauteur est égale au diamètre. L'atelier interactif permet de déplacer le rayon et de voir que la surface remonte dès qu'on s'éloigne de l'optimum, tout en gardant le même volume. C'est une excellente façon de relier le calcul, le tableau de variations et la géométrie de l'objet. Avec deux rayons choisis de part et d'autre de la solution, l'élève peut contrôler numériquement que la surface augmente. Ce contrôle n'est pas une démonstration à lui seul, mais il confirme le sens du calcul de dérivée.
08:43 – 10:00Pourquoi les boîtes réelles ne sont-elles pas toutes ainsi ?
Si les mathématiques ont trouvé une proportion parfaite, pourquoi toutes les boîtes du supermarché n'ont-elles pas exactement cette forme ? Parce que notre modèle n'inclut pas tout : les coûts des couvercles ne sont pas forcément ceux de la paroi, il existe des pertes à la découpe, des contraintes de stockage, de transport et de solidité, ainsi que des usages différents. Un modèle mathématique ne prétend pas reproduire tout le réel ; il isole une question, ici l'économie de surface pour un volume fixé. Ce sujet montre qu'avec une fonction, sa dérivée et un tableau de variations, on peut obtenir un résultat simple, utile et argumenté. C'est une manière concrète d'utiliser les mathématiques pour mieux concevoir les objets du quotidien.
Les calculs à savoir refaire au tableau
Le volume et la surface d'un cylindre fermé de rayon \(r>0\) et de hauteur \(h>0\) sont :
\[V=\pi r^2h,\qquad S=2\pi r^2+2\pi rh.\]
À volume \(V\) fixé, \(h=V/(\pi r^2)\) donc \[S(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r},\qquad S'(r)=\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}.\]
Le numérateur est négatif lorsque \(r<(V/(2\pi))^{1/3}\), puis positif au-delà. La fonction décroît, atteint son minimum, puis croît. Au minimum : \(V=2\pi r^3=\pi r^2h\), donc \[\boxed{h=2r}.\]
Si \(V=500\,\text{cm}^3\), alors \(r\approx4,30\,\text{cm}\), \(h\approx8,60\,\text{cm}\) et \(S_{\min}\approx348,7\,\text{cm}^2\).
15 questions du jury — avec réponses détaillées
Commence par maîtriser les cinq premières avant de poursuivre : elles constituent la base de la discussion.
1. Pourquoi une boîte est-elle modélisée par un cylindre ?
Parce qu'on peut calculer simplement son volume et sa surface, ce qui permet une première optimisation.
2. Quelle est la formule du volume ?
V = πr²h.
3. Quelle surface cherche-t-on à minimiser ?
La surface des deux bases et de la paroi latérale, pour une boîte fermée.
4. Quelle est l’aire latérale d’un cylindre ?
2πrh : c'est un rectangle déroulé de largeur 2πr et de hauteur h.
5. Pourquoi le volume doit-il rester constant ?
Pour comparer des boîtes contenant la même quantité d'aliment.
6. Comment éliminer la variable h ?
En écrivant h = V/(πr²) à partir de la contrainte de volume.
7. Quelle fonction doit-on dériver ?
S(r) = 2πr² + 2V/r, pour r strictement positif.
8. Quelle est sa dérivée ?
S'(r) = 4πr − 2V/r².
9. Pourquoi r ne peut-il pas être nul ?
Un cylindre de rayon nul aurait un volume nul si sa hauteur est finie, et les formules comportent 1/r.
10. Quel est le signe de S’ avant l’optimum ?
Il est négatif : la surface diminue.
11. Et après l’optimum ?
Il est positif : la surface augmente.
12. Pourquoi ce point est-il un minimum ?
La fonction passe de décroissante à croissante, et les deux extrêmes conduisent à une surface très grande.
13. Que signifie h = 2r ?
La hauteur est égale au diamètre de la base.
14. Que vaut le rayon pour 500 cm³ ?
Environ 4,30 cm.
15. Pourquoi les boîtes réelles peuvent-elles différer ?
À cause de la fabrication, des matériaux, du stockage et de l'ergonomie, absents du modèle.
