Un emprunt évolue mois après mois selon une relation de récurrence. Derrière un problème financier concret se cachent une suite géométrique, une exponentielle et un logarithme.
La question est concrète mais le cœur du sujet reste réellement mathématique. La relation de récurrence conduit naturellement à une suite géométrique, puis le logarithme intervient pour résoudre le problème de durée. Le sujet permet enfin une étude de sensibilité du coût au taux.
Quand une banque prête 200 000 euros pour acheter un logement, on pourrait croire qu’il suffit de diviser cette somme par le nombre de mensualités pour connaître la durée du remboursement. Mais ce raisonnement oublie les intérêts. Chaque mois, la dette augmente légèrement avant que l’emprunteur ne verse sa mensualité. Le capital restant dû évolue donc étape après étape : c’est exactement une situation que l’on peut modéliser par une suite.
Je vais étudier un exemple volontairement simple : un emprunt initial de 200 000 €, un taux de 0,25 % par mois et une mensualité constante de 1 100 €. Ma question est : comment les suites et le logarithme permettent-ils de prévoir la durée et le coût d’un crédit immobilier ?
Je note \(D_n\) le capital restant dû juste après la \(n\)-ième mensualité. Au départ, \[ D_0=200\,000. \] Entre deux mensualités, la dette augmente de 0,25 %. Elle est donc multipliée par \[ 1+0{,}0025=1{,}0025. \] Puis l’emprunteur verse 1 100 €. On obtient la relation \[ \boxed{D_{n+1}=1{,}0025D_n-1100}. \]
Cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique : elle combine une multiplication puis une soustraction. C’est une suite arithmético-géométrique.
Le premier mois, les intérêts valent \[ 0{,}0025\times200\,000=500. \] Comme la mensualité de 1 100 € est supérieure à 500 €, la dette commence bien à diminuer. Avec une mensualité trop faible, on pourrait au contraire rembourser sans faire baisser le capital.
Pour obtenir une formule explicite de \(D_n\), je cherche une valeur fixe \(L\), c’est-à-dire une valeur qui vérifierait \[ L=1{,}0025L-1100. \] Donc \[ 0{,}0025L=1100, \] d’où \[ L=440\,000. \]
Je pose alors \[ V_n=D_n-440\,000. \] On calcule : \[ V_{n+1}=D_{n+1}-440\,000 =1{,}0025D_n-1100-440\,000. \] Or \[ 1100+440\,000=441\,100=1{,}0025\times440\,000. \] Ainsi \[ V_{n+1}=1{,}0025(D_n-440\,000) =1{,}0025V_n. \] La suite \((V_n)\) est donc géométrique de raison \(1{,}0025\).
Comme \[ V_0=200\,000-440\,000=-240\,000, \] on a \[ V_n=-240\,000(1{,}0025)^n. \] Finalement, \[ \boxed{D_n=440\,000-240\,000(1{,}0025)^n}. \]
Cette formule permet désormais de connaître directement le capital restant au mois \(n\), sans recalculer toutes les mensualités précédentes.
Le crédit est remboursé lorsque le capital restant dû devient inférieur ou égal à zéro. On cherche donc le plus petit entier \(n\) tel que \[ D_n\leq0. \] Avec la formule explicite, \[ 440\,000-240\,000(1{,}0025)^n\leq0. \] Donc \[ (1{,}0025)^n\geq\frac{440\,000}{240\,000} =\frac{11}{6}. \]
L’inconnue \(n\) est dans l’exposant. C’est exactement la situation où le logarithme népérien est utile. Comme \(\ln\) est croissante, \[ n\ln(1{,}0025)\geq\ln\left(\frac{11}{6}\right). \] Ainsi \[ n\geq\frac{\ln(11/6)}{\ln(1{,}0025)} \approx 242,76. \] Le plus petit entier possible est donc \[ \boxed{243}. \]
Le crédit est remboursé au cours de la 243e mensualité, soit environ 20 ans et 3 mois.
La dernière mensualité n’a pas besoin d’être de 1 100 €. Après 242 mensualités complètes, le capital restant dû vaut environ \[ D_{242}\approx 831,16\text{ €}. \] Avant le paiement suivant, il produit encore un mois d’intérêts. La dernière somme à verser vaut donc environ \[ 1{,}0025\times 831,16 \approx 833,24\text{ €}. \]
Le montant total versé est alors \[ 242\times1100+833,24 \approx 267 033,24\text{ €}. \] Comme 200 000 € avaient été empruntés, le coût des intérêts dans ce modèle vaut environ \[ \boxed{67 033,24\text{ €}}. \]
Une mensualité ne rembourse donc pas seulement le capital : une partie paie le coût du temps, c’est-à-dire les intérêts accumulés pendant la durée du prêt.
Le modèle permet de faire varier le taux tout en gardant le même emprunt de 200 000 € et la même mensualité de 1 100 €. Avec un taux mensuel de 0,20 %, on trouve environ 227 mensualités et un coût d’intérêts d’environ 48 841 €. À 0,25 %, on obtient 243 mensualités et environ 67 033 € d’intérêts. À 0,30 %, on monte à environ 264 mensualités et 89 535 € d’intérêts.
Entre 0,20 % et 0,30 % par mois, l’écart de taux paraît faible, mais le coût des intérêts augmente ici d’environ \[ 89\,535-48\,841\approx40\,694\text{ €}. \]
Pourquoi ? Parce que le taux agit à chaque étape de la suite. Son effet est répété et composé pendant des centaines de mensualités. Une petite différence locale finit donc par produire une différence globale importante.
Sur mon support, je représente le capital restant dû en fonction du nombre de mensualités. La courbe descend jusqu’à zéro mais n’est pas une droite : la part des intérêts est plus importante au début, lorsque le capital restant dû est élevé.
Le support montre aussi les deux écritures \[ D_{n+1}=1{,}0025D_n-1100 \] et \[ D_n=440\,000-240\,000(1{,}0025)^n. \] La première décrit le mécanisme mois après mois. La seconde permet de prévoir directement le capital au mois \(n\). Ce sont deux points de vue sur le même phénomène.
On peut même relier cette suite à l’exponentielle puisque \[ (1+r)^n=e^{n\ln(1+r)}. \] Une croissance multiplicative discrète peut donc aussi être écrite avec une fonction exponentielle.
Je peux donc répondre à la question. Les suites permettent de modéliser l’évolution mensuelle du capital restant dû. Une transformation fait apparaître une suite géométrique, puis le logarithme permet de résoudre l’inéquation qui donne la durée du remboursement. Dans notre exemple, on obtient environ 243 mensualités et un coût d’intérêts proche de 67 000 €.
Le modèle reste simplifié : il ne prend pas en compte l’assurance, les frais, un éventuel changement de taux, les remboursements anticipés ni toutes les conventions bancaires. Mais il met en évidence une idée essentielle : lorsqu’une petite variation est répétée plusieurs centaines de fois, son effet cumulé peut devenir considérable. C’est exactement ce que les suites et les logarithmes permettent de quantifier.
Prolongements possibles : comparer plusieurs mensualités, comparer taux nominal et taux effectif, étudier la sensibilité du coût au taux, programmer un échéancier ou rapprocher \((1+r)^n\) de \(e^{n\ln(1+r)}\).