Une croissance matérielle exponentielle face à un stock fini pose une contrainte simple. Mais la croissance du PIB et celle de l’extraction ne sont pas mathématiquement la même chose.
Il part d’une question économique très actuelle mais la traite par un raisonnement mathématique précis : suite géométrique, somme, logarithme, puis comparaison de deux taux de croissance. Le candidat peut construire un modèle, le résoudre, puis montrer pourquoi il faut ensuite en discuter les hypothèses.
Deux pour cent de croissance par an paraît faible. Pourtant, lorsqu’une quantité augmente de 2 % chaque année, elle suit une croissance géométrique : les augmentations successives se cumulent. Face à un stock de ressources fini, cette dynamique peut devenir décisive.
Ma problématique est donc : notre croissance économique actuelle peut-elle conduire à l’épuisement des ressources naturelles ?
Pour répondre, il faut distinguer deux idées. Premièrement, une consommation matérielle qui augmente exponentiellement épuise plus vite un stock fini. Deuxièmement, la croissance du PIB n’implique pas nécessairement que l’utilisation de matières augmente au même rythme. Les mathématiques permettent précisément de formuler la condition qui sépare ces deux situations.
Je considère une ressource non renouvelable disponible en quantité \(R\). Aujourd’hui, on en consomme \(C_0\) unités par an. Si cette consommation augmente de \(g\)% par an, alors l’année \(n\), \[ \boxed{C_n=C_0(1+g)^n}. \] C’est une suite géométrique de raison \(1+g\).
Mais pour savoir quand le stock sera épuisé, il ne suffit pas de regarder la consommation d’une seule année. Il faut additionner toutes les consommations successives : \[ S_n=C_0+C_0(1+g)+\cdots+C_0(1+g)^{n-1}. \] La somme d’une suite géométrique donne \[ \boxed{S_n=C_0\frac{(1+g)^n-1}{g}}. \] Le stock est théoriquement épuisé dès que \[ S_n\ge R. \]
La condition \[ C_0\frac{(1+g)^n-1}{g}\ge R \] équivaut à \[ (1+g)^n\ge1+\frac{gR}{C_0}. \] En utilisant le logarithme, \[ \boxed{ n\ge \frac{\ln\left(1+\frac{gR}{C_0}\right)} {\ln(1+g)} }. \]
Prenons un exemple simple : supposons que le stock représente 50 années de consommation au rythme actuel. Cela signifie \[ \frac{R}{C_0}=50. \] Si la consommation reste constante, le stock dure exactement 50 ans.
Mais avec une croissance de consommation de 2 % par an, \[ n= \frac{\ln(1+0{,}02\times50)}{\ln(1{,}02)} = \frac{\ln2}{\ln1{,}02} \approx35. \] Ainsi, \[ \boxed{\text{50 années au rythme actuel deviennent environ 35 années dans ce modèle}.} \] Cela illustre la puissance de la croissance exponentielle.
Parce que j’ai fait une hypothèse forte : j’ai supposé que la consommation matérielle augmente au même rythme que l’activité économique. Or ce n’est pas nécessairement le cas.
On peut produire davantage de valeur économique en utilisant moins de matière par unité produite : machines plus efficaces, bâtiments mieux conçus, recyclage, logiciels, services ou substitution de matériaux.
Je note donc \(Y_n\) la production économique et \(i_n\) l’intensité matérielle, c’est-à-dire la quantité de ressources nécessaire pour produire une unité de PIB.
Si le PIB augmente de \(g\)% par an, \[ Y_n=Y_0(1+g)^n. \] Et si l’intensité matérielle diminue de \(h\)% par an, \[ i_n=i_0(1-h)^n. \]
La quantité totale de ressources utilisée est alors \[ C_n=Y_ni_n. \] Donc \[ C_n = Y_0i_0(1+g)^n(1-h)^n, \] soit \[ \boxed{C_n=C_0[(1+g)(1-h)]^n}. \]
Pour que le PIB augmente tout en faisant diminuer l’utilisation totale de ressources, il faut \[ (1+g)(1-h)<1. \] On peut isoler \(h\) : \[ \boxed{h>\frac{g}{1+g}}. \]
Par exemple, avec une croissance économique de 2 %, \[ h>\frac{0{,}02}{1{,}02}\approx0{,}0196. \] L’intensité matérielle doit donc baisser de plus de \[ \boxed{1{,}96\%\text{ par an}} \] pour que l’utilisation totale de matières diminue dans ce modèle.
C’est ce qu’on appelle un découplage absolu. Si l’utilisation de ressources augmente encore mais moins vite que le PIB, il n’y a qu’un découplage relatif.
Le Global Resources Outlook 2024 du Programme des Nations unies pour l’environnement estime que l’extraction mondiale de matières est passée d’environ 30 milliards de tonnes en 1970 à 106,6 milliards de tonnes en 2024.
Le rapport donne une croissance moyenne d’environ 2,3 % par an. Le rapport entre les deux niveaux vaut \[ \frac{106{,}6}{30}\approx3{,}55. \] L’extraction annuelle mondiale a donc été multipliée par environ trois et demi en un peu plus d’un demi-siècle.
Ces données montrent que, jusqu’à présent, l’utilisation mondiale de matières a fortement augmenté. Mais elles ne suffisent pas à dire qu’une ressource précise sera épuisée à une date donnée : les matières agrégées comprennent biomasse, combustibles fossiles, minerais métalliques et minéraux non métalliques, qui n’ont ni la même rareté ni les mêmes impacts.
Dans notre premier modèle, \(R\) était un stock fixe. Dans la réalité, les réserves économiquement exploitables changent avec les découvertes, la technologie, les prix, le recyclage et la possibilité de remplacer un matériau par un autre.
La Banque mondiale souligne d’ailleurs que le capital naturel non renouvelable peut varier avec les nouvelles découvertes, les innovations technologiques et les conditions de marché.
Il faut donc distinguer la ressource physique totale, la réserve connue et la réserve réellement exploitable à un moment donné. Une annonce du type « il reste exactement 35 ans de telle ressource » serait beaucoup trop forte si elle repose seulement sur le rapport entre réserves actuelles et consommation actuelle.
Il faut enfin distinguer les ressources non renouvelables, comme certains minerais ou combustibles fossiles, des ressources renouvelables, comme une forêt ou un stock de poissons. Pour une ressource renouvelable, le modèle pertinent ne consiste plus seulement à soustraire la consommation à un stock : il faut aussi ajouter un terme de régénération. La question devient alors de savoir si le prélèvement annuel reste inférieur, à long terme, à la capacité de renouvellement.
Il existe enfin une distinction importante entre un flux et un stock. Le PIB mesure principalement un flux de production sur une période. Il ne mesure pas directement l’état du patrimoine naturel restant.
Un pays peut donc augmenter sa production aujourd’hui tout en réduisant une partie de son capital naturel. C’est pour cette raison que la Banque mondiale complète le PIB par des mesures de richesse incluant capital produit, capital humain et capital naturel.
Dans son rapport 2024, elle indique que plus de 25 % des pays étudiés ont connu une croissance positive du PIB réel par habitant alors que leur richesse réelle par habitant diminuait. Cela montre qu’une croissance du flux annuel ne suffit pas, à elle seule, à démontrer que la trajectoire est durable.
Les mathématiques ne montrent pas que toute croissance économique conduit automatiquement à l’épuisement des ressources. Elles montrent quelque chose de plus précis.
Si une consommation matérielle croît exponentiellement face à un stock fini, alors le stock finit nécessairement par être épuisé dans ce modèle. Mais si l’intensité matérielle diminue suffisamment vite, une économie peut croître tout en réduisant son utilisation totale de matières.
La condition \[ \boxed{(1+g)(1-h)<1} \] résume cette idée.
La vraie question devient donc : l’efficacité, le recyclage et les substitutions progresseront-ils assez vite pour compenser l’augmentation de l’activité économique ? Les mathématiques donnent la condition ; les données réelles permettent ensuite de vérifier si elle est atteinte.
Autrement dit, le débat ne porte pas seulement sur le taux de croissance, mais sur la composition de cette croissance et sur la vitesse à laquelle l’économie réduit sa dépendance matérielle.
Les « réserves » économiquement exploitables peuvent changer avec les prix, les découvertes, les technologies, le recyclage et les substitutions. Il faut aussi distinguer ressources renouvelables et non renouvelables.
Enfin, additionner des tonnes de biomasse, de sable, de charbon et de cuivre renseigne sur les flux matériels globaux, mais pas directement sur la rareté ou l’impact de chacun de ces matériaux.