La problématique et les notions mobilisées
Un fragment de bois retrouvé lors de fouilles ne porte aucune date. Pourtant, la physique fournit une horloge invisible que les fonctions exponentielles et le logarithme permettent de lire.
Équation différentielleExponentielleLogarithme népérienFonction décroissanteIncertitude
Les âges calculés sont des valeurs du modèle simplifié avec une demi-vie physique de 5 730 ans. Les âges radiocarbone conventionnels et les dates calendaires calibrées ne se confondent pas.
Exposé complet — environ 10 minutes
Ce texte constitue une trame orale rédigée, à comprendre et à s’approprier plutôt qu’à réciter mécaniquement. Les formules peuvent être montrées progressivement sur le support pendant la présentation.
00:00–01:05Introduction — un objet sans calendrier
Imaginez un archéologue qui déterre un petit morceau de bois carbonisé. Aucun texte ne permet d’en connaître l’âge ; rien ne dit quand l’arbre a vécu. Pourtant, des laboratoires peuvent estimer depuis combien de temps ce bois est mort. L’idée est de compter quelque chose qui disparaît régulièrement : le carbone 14, un isotope radioactif du carbone. Les mathématiques interviennent quand on demande : si une certaine proportion de carbone 14 subsiste aujourd’hui, combien de temps s’est écoulé depuis la mort ? Je vais suivre le raisonnement à partir d’un modèle volontairement simplifié, puis expliquer pourquoi une datation archéologique réelle exige davantage qu’une formule.
01:05–02:10Pourquoi un arbre contient-il du carbone 14 ?
Dans l’atmosphère, une petite partie du carbone est radioactive : c’est le carbone 14, noté \(^{14}\!C\). Tant que la plante vit, elle échange du carbone avec son environnement ; sa proportion de carbone 14 est liée à celle de l’air et de son alimentation. Quand elle meurt, ces échanges cessent. Le carbone 14 déjà présent continue cependant de se transformer radioactivement. Pour raisonner, on compare la quantité de carbone 14 mesurée à une quantité de référence, notée \(N_0\). Attention : le carbone total ne disparaît pas de l’échantillon comme du sucre dans l’eau ; c’est le nombre de noyaux radioactifs qui décroît. Le modèle suppose un système fermé et une proportion de départ connue.
02:10–03:15Du phénomène physique à une équation différentielle
La radioactivité obéit à une propriété simple : pendant un petit intervalle de temps, le nombre de noyaux qui se désintègrent est proportionnel au nombre de noyaux encore présents. On traduit cette idée par l’équation différentielle
\[N'(t)=-\lambda N(t),\qquad \lambda>0.\]
Le signe moins représente la diminution, et \(\lambda\) est une constante de désintégration. Cette équation est au programme de Terminale spécialité. Sa solution vérifiant \(N(0)=N_0\) est
\[N(t)=N_0e^{-\lambda t}.\]
Le résultat a une conséquence importante : la décroissance n’est pas linéaire. On ne perd pas le même nombre d’atomes chaque année, mais une même proportion pendant des durées égales.
03:15–04:15La demi-vie et le nombre 5 730
Une notion physique permet de déterminer \(\lambda\) : la demi-vie. Pour le carbone 14, elle vaut environ 5 730 ans. Cela signifie qu’au bout de cette durée il reste la moitié du carbone 14 de départ : \(N(5730)=N_0/2\). En remplaçant dans le modèle, on trouve
\[e^{-5730\lambda}=\frac12,\qquad \lambda=\frac{\ln2}{5730}.\]
Notre expression devient alors
\[\boxed{\frac{N(t)}{N_0}=2^{-t/5730}}.\]
Après 11 460 ans, soit deux demi-vies, il reste un quart. Après trois demi-vies, un huitième. Une suite géométrique apparaît donc quand on observe cette évolution à intervalles réguliers de 5 730 ans. L’exponentielle relie le temps continu aux puissances de \(1/2\).
04:15–05:25Comment retrouver les 10 000 ans ?
Supposons que le laboratoire mesure une proportion restante de 30 % par rapport à notre référence simplifiée. On doit résoudre \(0{,}30=2^{-t/5730}\). La fonction exponentielle donne la proportion à partir du temps ; pour remonter du résultat au temps, on utilise le logarithme népérien :
\[\ln(0{,}30)=-\frac{t}{5730}\ln2,\]
ce qui conduit à
\[\boxed{t=\frac{-5730\ln(0{,}30)}{\ln2}\approx 9953\text{ ans}}.\]
On obtient un âge proche de 10 000 ans. Dans le sens inverse, le modèle prédit qu’après exactement 10 000 ans il resterait environ 29,8 % de la quantité initiale. Voilà pourquoi le logarithme est indispensable : il permet d’inverser l’horloge exponentielle.
05:25–06:30Ce que montre le dessin pendant l’oral
Sur mon support, je trace la courbe de la quantité relative \(N(t)/N_0\) selon le temps. Elle part de 1, descend jusqu’à 0,5 après 5 730 ans, puis jusqu’à 0,25 après 11 460 ans. J’ajoute une horizontale de hauteur 0,30 : son intersection avec la courbe indique un temps très voisin de 10 000 ans. Ce dessin permet de contrôler mentalement le calcul. Puisque 30 % est compris entre 50 % et 25 %, l’âge doit se situer entre une et deux demi-vies, donc entre 5 730 et 11 460 ans. Si notre calcul aboutissait à 200 ans ou à 40 000 ans, nous saurions immédiatement qu’il contient une erreur.
06:30–07:30Une mesure n’est jamais parfaitement exacte
Un laboratoire ne mesure pas exactement 30,0000 %. Imaginons que la fraction restante soit comprise entre 29 % et 31 %. La fonction \(t(f)=-5730\ln(f)/\ln2\) est décroissante en \(f\) : plus il reste de carbone 14, plus l’objet est récent. La borne 31 % conduit à environ 9 682 ans ; la borne 29 % à environ 10 233 ans. Ce simple encadrement montre comment une incertitude sur la mesure se transmet à l’âge. L’étude d’une fonction et de son sens de variation sert donc aussi à contrôler la précision du résultat. Je précise que cet intervalle est une illustration mathématique, pas un intervalle de datation certifié par un laboratoire.
07:30–08:45Pourquoi le vrai travail archéologique est plus compliqué
Le modèle que je viens d’utiliser fait comme si la quantité initiale de carbone 14 avait toujours été la même. Or la teneur atmosphérique en carbone 14 a varié avec le temps. Les spécialistes emploient donc des courbes de calibration, construites notamment à partir d’échantillons datés indépendamment, comme les cernes d’arbres. Ils doivent aussi vérifier que l’échantillon n’a pas été contaminé par du carbone plus récent ou plus ancien. Autre limite : la méthode date du carbone d’origine biologique, pas directement n’importe quelle pierre, ni un métal. Enfin, pour des âges très anciens, la quantité restante devient trop faible pour une mesure ordinaire fiable. Un âge donné par notre formule ne doit donc pas être confondu avec une date calendaire calibrée.
08:45–10:05Conclusion — une montre faite de fonctions
Pour dater un fragment de bois, les mathématiques forment une chaîne logique. On traduit une désintégration radioactive par une équation différentielle, on obtient une fonction exponentielle, la demi-vie fixe sa constante, puis le logarithme permet de retrouver la durée écoulée. Avec une fraction restante de 30 %, notre modèle donne environ 9 953 ans. L’étude des variations donne même un moyen simple de mesurer les effets d’une incertitude. Ce sujet relie la physique-chimie, les équations différentielles et les logarithmes sans sortir du cœur de la Terminale spécialité. Mais la conclusion essentielle est plus large : le calcul fournit un âge de modèle ; le travail scientifique transforme cette estimation en une datation argumentée, grâce aux mesures, aux contrôles et à la calibration.
Support visuel à reconstruire en 20 minutes
Reproduis l’idée du dessin en quelques traits, chiffres et légendes lisibles. Il n’est pas nécessaire de reproduire les couleurs, les encadrés ou la mise en page graphique pour le jury.
À préparer : une feuille A4, un dessin central, les hypothèses clairement posées, le résultat chiffré et une phrase sur les limites du modèle.