Du modèle exponentiel à la croissance logistique : comment passer d’une croissance sans limite à un modèle qui tient compte des ressources du milieu ?
Il part d’une hypothèse simple — la croissance est proportionnelle à l’effectif — puis montre pourquoi ce modèle devient insuffisant. La comparaison avec le modèle logistique permet de mobiliser plusieurs notions de Terminale dans une progression naturelle.
Une population change en permanence : il y a des naissances, des décès, parfois des migrations, mais aussi des contraintes liées à la nourriture, à l’espace disponible ou à la compétition. Les mathématiques ne peuvent pas prévoir chaque individu, mais elles peuvent modéliser l’évolution globale de l’effectif.
Une idée naturelle consiste à ne pas décrire directement la population, mais sa vitesse de variation. C’est exactement ce que permettent les équations différentielles.
Ma problématique est donc : comment l’utilisation des équations différentielles peut-elle aider à modéliser l’évolution d’une population ?
Je vais comparer deux modèles : d’abord une croissance exponentielle très simple, puis un modèle logistique qui tient compte d’une capacité maximale du milieu.
Notons \(P(t)\) la taille d’une population au temps \(t\). Supposons d’abord que la vitesse de croissance soit proportionnelle à l’effectif présent. On écrit :\[\boxed{P'(t)=rP(t)}\]avec \(r>0\).
Cette équation signifie que plus la population est grande, plus elle produit de nouveaux individus par unité de temps. C’est un modèle pertinent lorsque les ressources sont abondantes et que rien ne limite encore fortement la croissance.
La solution qui vérifie \(P(0)=P_0\) est :\[\boxed{P(t)=P_0e^{rt}}.\]
On reconnaît exactement une croissance exponentielle.
Prenons :\[P_0=100\qquad\text{et}\qquad r=0{,}2.\]Alors\[P(t)=100e^{0{,}2t}.\]
Pour savoir quand la population double, on résout :\[100e^{0{,}2t}=200.\]Donc \(e^{0{,}2t}=2\), puis \(0{,}2t=\ln2\). Ainsi :\[\boxed{t=\frac{\ln2}{0{,}2}\approx3{,}47}.\]
Le logarithme permet donc de retrouver le temps nécessaire pour atteindre un seuil donné.
Le modèle est simple, mais il possède une limite évidente :\[\lim_{t\to+\infty}100e^{0{,}2t}=+\infty.\]Il prévoit donc une croissance sans borne.
Dans un milieu réel, cette hypothèse devient rapidement irréaliste : la nourriture, l’espace, l’eau ou d’autres ressources deviennent limitants. Une population peut aussi subir davantage de compétition ou de mortalité lorsque sa densité augmente.
Le modèle exponentiel n’est donc pas nécessairement mauvais : il peut décrire correctement une phase initiale. Mais il faut le modifier lorsque la population devient importante par rapport aux ressources disponibles.
Cette étape est essentielle en modélisation : un bon modèle n’est pas celui qui est « vrai » pour toujours, mais celui dont on connaît le domaine de validité.
On note \(K\) la capacité du milieu : c’est l’effectif autour duquel le modèle suppose que l’environnement ne peut plus soutenir durablement une croissance positive.
On remplace alors l’équation précédente par :\[\boxed{P'(t)=rP(t)\left(1-\frac{P(t)}K\right)}.\]
Cette équation est appelée équation logistique.
Si \(P\) est très petit devant \(K\), alors \(P/K\approx0\), donc \(1-P/K\approx1\), et on retrouve presque \(P'\approx rP\). Au début, la croissance est donc presque exponentielle.
Mais lorsque \(P\) se rapproche de \(K\), le facteur \(1-P/K\) se rapproche de zéro. La croissance ralentit. Le modèle introduit donc directement l’effet de la limitation des ressources.
Pour savoir quand la population ne varie plus, on cherche \(P'=0\). Donc :\[rP\left(1-\frac PK\right)=0.\]On obtient deux valeurs :\[\boxed{P=0}\qquad\text{ou}\qquad\boxed{P=K}.\]
Si \(0
Si \(P>K\), alors \(1-P/K<0\), donc \(P'<0\) : dans ce modèle, la population redescend vers \(K\).
La capacité \(K\) joue donc le rôle d’un équilibre stable du modèle. En revanche, \(P=0\) est un équilibre instable si \(r>0\) : une petite population positive se met à croître.
Prenons maintenant\[K=1000,\qquad r=0{,}2,\qquad P(0)=100.\]La solution logistique correspondante est :\[\boxed{P(t)=\frac{1000}{1+9e^{-0{,}2t}}}.\]
La résolution générale de cette équation différentielle est plus avancée que ce qui est exigé au lycée ; on peut donc admettre cette expression et l’exploiter.
On vérifie immédiatement :\[P(0)=\frac{1000}{1+9}=100.\]Et lorsque \(t\to+\infty\), on a \(e^{-0{,}2t}\to0\). Donc :\[\boxed{P(t)\to1000=K}.\]
Contrairement au modèle exponentiel, la population ne croît donc pas indéfiniment.
La vitesse de croissance est :\[P'=rP\left(1-\frac PK\right)=rP-\frac rK P^2.\]Si on considère cette expression comme une fonction de \(P\), c’est une parabole tournée vers le bas.
Son maximum est atteint au sommet :\[\boxed{P=\frac K2}.\]
Dans notre exemple : \(P=500\). La vitesse maximale vaut :\[P'_{\max}=r\frac K2\left(1-\frac12\right)=\frac{rK}{4}.\]Avec \(r=0{,}2\) et \(K=1000\) :\[\boxed{P'_{\max}=50}.\]
Le modèle prédit donc que la population augmente le plus vite lorsqu’elle atteint la moitié de la capacité du milieu. C’est aussi le point d’inflexion de la courbe logistique.
On cherche le moment où \(P(t)=500\) :\[\frac{1000}{1+9e^{-0{,}2t}}=500.\]Donc \(1+9e^{-0{,}2t}=2\), puis \(9e^{-0{,}2t}=1\). Ainsi :\[e^{-0{,}2t}=\frac19.\]
En prenant le logarithme :\[-0{,}2t=-\ln9.\]Finalement :\[\boxed{t=\frac{\ln9}{0{,}2}\approx10{,}99}.\]
On relie ainsi naturellement équation différentielle, fonction exponentielle, logarithme et dérivation dans une même situation de modélisation.
Le premier modèle \(P'=rP\) décrit bien une phase de croissance rapide, mais il conduit à une population infinie.
Le modèle logistique \(P'=rP(1-P/K)\) ajoute une contrainte liée au milieu et prévoit une stabilisation vers \(K\).
Ce sujet montre donc le rôle essentiel des équations différentielles : elles permettent de traduire une hypothèse biologique sur la vitesse d’évolution en une fonction que l’on peut étudier, calculer et comparer aux données.
Mais un modèle reste une simplification. Dans une vraie population, \(r\) et \(K\) peuvent varier, l’environnement peut changer et les effectifs peuvent fluctuer. Les mathématiques ne donnent pas une vérité absolue : elles donnent un cadre pour comprendre, prévoir dans certaines limites et tester des hypothèses.
Le modèle logistique suppose notamment que \(r\) et \(K\) restent constants, que la population peut être représentée par une variable continue et que les effets de la densité sont instantanés. Une vraie population peut subir des saisons, des migrations, des épidémies, des prédateurs ou des variations brutales du milieu.
La résolution complète de l’équation logistique est au-delà du cœur du programme de Terminale. Pour le Grand Oral, la solution explicite peut donc être admise puis étudiée et vérifiée avec des outils maîtrisés : dérivation, exponentielle, logarithme et limites.