Une nouvelle coupe n’ajoute pas seulement une part : elle peut traverser des dizaines de morceaux déjà formés.
10 coupes → 176 morceauxLe raisonnement change d’échelle : points sur une droite, droites dans une section, puis plans dans un solide. Une formule cubique transforme cette idée géométrique en un maximum exact.
Les repères de durée incluent la lecture des formules et les gestes sur le support. L’exposé doit être adapté et chronométré à voix haute.
Vous préparez un gâteau pour beaucoup d’invités. Avec dix coups de couteau, combien de morceaux pourriez-vous obtenir ? Si vous faites dix tranches parallèles, vous obtenez seulement onze morceaux. Si vous multipliez les directions, vous pouvez en obtenir beaucoup plus.
Le résultat est surprenant : dans un modèle mathématique précis, dix découpes suffisent pour obtenir cent soixante-seize morceaux. Et il est impossible d’en obtenir davantage dans ce modèle.
Ma problématique est donc : peut-on découper un gâteau en 176 morceaux avec seulement dix coups de couteau ?
Je vais d’abord étudier une pizza représentée par un disque, puis passer au gâteau en trois dimensions. Cette transition fera apparaître une suite, une relation de récurrence et les coefficients binomiaux.
Je modélise le gâteau par un solide convexe, par exemple un cube ou un cylindre plein. La convexité signifie que le segment qui relie deux points du solide reste à l’intérieur.
Chaque coup de couteau est représenté par un plan qui traverse le gâteau. La coupe est complète et d’épaisseur nulle. On laisse tous les morceaux à leur place : on ne les empile pas et on ne les réorganise pas entre deux coupes.
Les morceaux ne doivent pas avoir le même volume. On cherche uniquement à maximiser leur nombre. Certaines régions pourront donc être petites ou de forme irrégulière.
Enfin, les plans doivent être soigneusement positionnés. Des coupes parallèles ou des intersections mal placées ne donneront pas le maximum. Le nombre annoncé correspond à la meilleure configuration possible.
Commençons en deux dimensions. J’appelle Rm le nombre maximal de régions d’un disque découpé par m droites. Sans coupe, il y a une région ; avec une droite, deux ; avec deux droites sécantes à l’intérieur, quatre.
Observons maintenant la m-ième droite. Elle peut rencontrer chacune des m moins une droites précédentes en un point. Au maximum, elle possède donc m moins une points d’intersection distincts dans le disque.
Ces points la partagent en m segments. Chaque segment traverse une région et la sépare en deux, ajoutant une région. La nouvelle droite ajoute donc au plus m régions.
Pour atteindre ce maximum, il faut éviter les droites parallèles, les points communs à trois droites et les intersections situées hors du disque. On peut choisir des droites qui satisfont ces conditions.
En additionnant les accroissements successifs, on obtient :
Trois droites bien placées donnent ainsi sept régions, pas six. Avec dix droites, une pizza représentée par un disque donne au maximum cinquante-six régions.
Passons en trois dimensions. J’appelle Cn le nombre maximal de morceaux obtenus avec n plans. Sans découpe, le gâteau est entier : C0 vaut un.
Ajoutons le n-ième plan. Chaque plan précédent peut rencontrer ce nouveau plan suivant une droite. On retrouve donc, à l’intérieur du plan de coupe, un problème en deux dimensions avec n moins une droites.
Ces droites découpent la section en au plus Rn−1 zones. Chaque zone correspond à un morceau traversé par la nouvelle coupe. Ce morceau est partagé en deux : on gagne une pièce supplémentaire.
La convexité est utile ici : les morceaux obtenus restent convexes et leur intersection avec le plan ne forme pas plusieurs zones séparées. On ne compte donc pas plusieurs fois le même morceau traversé.
Ce raisonnement donne une borne. Pour obtenir l’égalité, il faut que les droites tracées par les anciens plans découpent réellement la section au maximum. On choisit donc les plans sans dégénérescence et avec les intersections utiles à l’intérieur du gâteau.
Par exemple, le quatrième plan peut ajouter sept morceaux : on passe de huit à quinze. Il ne peut pas couper les huit morceaux précédents en deux simultanément.
La suite commence par un, deux, quatre, huit, quinze, vingt-six. On pourrait continuer jusqu’à dix coupes, mais une formule permet de répondre pour n’importe quel nombre de plans.
La formule que je vais démontrer est :
Le coefficient binomial deux parmi n compte les couples de plans. Trois parmi n compte les triplets. Pour n inférieur au nombre d’éléments à choisir, le coefficient vaut zéro.
J’utilise un raisonnement par récurrence. Au rang zéro, la formule donne un : elle est correcte. Supposons-la vraie au rang n moins un. La relation précédente nous permet d’ajouter un plus n fois n moins un, divisé par deux.
Or cette dernière quantité est égale à un, plus n moins un, plus le coefficient deux parmi n moins un. En regroupant les termes, on peut appliquer deux fois l’identité de Pascal :
On retrouve alors exactement un, plus n, plus deux parmi n, plus trois parmi n. La propriété est héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
Cette démonstration relie les trois dimensions du problème au dénombrement. La récurrence ne devine pas le résultat : elle transforme le mécanisme géométrique en une formule vérifiée.
Appliquons la formule à dix plans. Dix parmi deux vaut quarante-cinq : on choisit deux plans sans tenir compte de leur ordre. Dix parmi trois vaut cent vingt.
Le maximum recherché est donc :
On peut aussi vérifier ce résultat par le dernier accroissement. Avec neuf coupes, le maximum vaut cent trente. La dixième coupe rencontre les neuf autres plans suivant neuf droites.
La dixième coupe ajoute donc quarante-six morceaux, à elle seule. C’est la raison pour laquelle une simple intuition fondée sur le nombre de coups de couteau sous-estime autant le résultat.
Le résultat dépend de nos règles. Si les dix plans sont parallèles, on obtient onze morceaux. Si les coupes sont toutes verticales dans un gâteau cylindrique, on retrouve le problème du disque : le maximum est cinquante-six.
Pour atteindre cent soixante-seize, il faut utiliser des plans de directions variées et placer les intersections utiles à l’intérieur. Une légère perturbation des plans permet d’éviter les intersections qui se confondent. Le modèle ne garantit ni des parts égales ni une réalisation facile avec un vrai gâteau fragile.
On peut également écrire la formule sous forme d’un polynôme :
Le nombre maximal de morceaux croît donc, pour de grandes valeurs de n, comme n au cube divisé par six.
La réponse à la problématique est oui : dix découpes planes bien placées peuvent produire exactement cent soixante-seize morceaux, sans déplacer les pièces. Le passage du disque au solide nous a fourni la récurrence ; l’identité de Pascal nous a donné la formule générale.
Ce sujet montre comment une question quotidienne peut conduire à une démonstration qui associe géométrie, suites et combinatoire.
Faire varier n. Le dessin représente la section de la nouvelle coupe par les n − 1 plans précédents. Il ne représente pas le gâteau entier en trois dimensions.
Le dessin est une configuration plane calculée : les intersections sont à l’intérieur et aucune intersection ne réunit trois droites. Pour afficher beaucoup de droites, certaines zones deviennent très petites.
| Coupes n | Disque Rₙ | Gâteau Cₙ | Ajout par la dernière coupe |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | — |
| 1 | 2 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 4 | 2 |
| 3 | 7 | 8 | 4 |
| 4 | 11 | 15 | 7 |
| 5 | 16 | 26 | 11 |
| 6 | 22 | 42 | 16 |
| 7 | 29 | 64 | 22 |
| 8 | 37 | 93 | 29 |
| 9 | 46 | 130 | 37 |
| 10 | 56 | 176 | 46 |
| 11 | 67 | 232 | 56 |
| 12 | 79 | 299 | 67 |
Dans le gâteau en trois dimensions, elle correspond à un plan. Une droite représente la coupe dans le modèle en deux dimensions, ou l’intersection de deux plans.
Le nombre de régions découpées par des droites dans une section plane détermine combien de morceaux une nouvelle coupe plane peut ajouter dans le solide. La réduction d’une dimension constitue le cœur du raisonnement.
Sans découpe, le disque ou le gâteau forme une seule région. Le nombre de coupes vaut zéro, mais le nombre de morceaux ne vaut pas zéro.
Elle rencontre les m − 1 droites précédentes en au plus m − 1 points distincts. Son segment intérieur au disque est donc divisé en au plus m segments, chacun séparant une région en deux.
On part de quatre régions avec deux droites. Une troisième droite qui rencontre les deux premières en deux points distincts à l’intérieur est divisée en trois segments ; elle ajoute trois régions : 4 + 3 = 7.
Les n − 1 anciens plans tracent au plus n − 1 droites dans le nouveau plan. Les zones de la section correspondent aux anciens morceaux qu’il traverse. Chaque morceau traversé se partage en deux : chaque zone ajoute un morceau.
L’intersection d’un solide convexe avec des demi-espaces reste convexe. Chaque morceau obtenu est donc convexe, et sa section par un plan est connexe : une seule zone correspond à chaque morceau traversé.
Dans chaque section, les droites doivent être en position générale : pas de parallèles, pas de point commun à trois droites, et intersections dans la section. Dans le solide, on peut choisir les plans tels que chaque triple se rencontre en un point unique, qu’aucun quadruple n’ait de point commun et que les intersections triples soient intérieures.
Après trois plans, il y a au plus huit morceaux. Le quatrième plan rencontre les trois autres suivant trois droites, qui délimitent au plus sept zones. Il ajoute donc au plus sept morceaux : 8 + 7 = 15.
Le doublement supposerait que chaque nouveau plan traverse tous les morceaux existants. La géométrie limite ce nombre aux zones découpées dans sa section. 2ⁿ est une borne générale, mais elle n’est plus atteignable dès n = 4 dans le modèle sans déplacement.
Pour les coefficients binomiaux, choisir k éléments parmi n revient à distinguer les choix contenant un élément fixé et ceux qui ne le contiennent pas : coefficient (n−1, k−1) + coefficient (n−1, k) = coefficient (n, k).
Il y a 10 × 9 / 2 = 45 couples de plans et 10 × 9 × 8 / 6 = 120 triplets. On divise par 2! et 3! pour supprimer les différents ordres de sélection d’un même groupe.
Cₙ = (n³ + 5n + 6)/6. Ainsi Cₙ/n³ = 1/6 + 5/(6n²) + 1/n³ tend vers 1/6. La croissance est de l’ordre de n³.
Non : 176 est le maximum. Des coupes parallèles traversant le gâteau en donnent 11. Et atteindre le maximum ne signifie pas que les volumes des morceaux sont égaux.
Oui. On peut choisir des plans en position générale dont toutes les intersections triples sont situées dans une petite zone intérieure au gâteau. Une construction explicite dans un cube est proposée ci-dessous. Le gâteau convexe doit avoir un intérieur non vide.
Les plans verticaux se traduisent par des droites dans le disque de base. Chaque région du disque donne un morceau qui s’étend sur toute la hauteur. Le maximum est donc R10 = 1 + 10 × 11/2 = 56 morceaux. Les 176 morceaux nécessitent des directions de plans plus variées.
Pour maximiser le nombre sous cette contrainte, les traces des autres plans dans une nouvelle section sont des droites distinctes passant toutes par ce point. À partir de la deuxième coupe, le n-ième plan ajoute donc 2(n − 1) morceaux. La première coupe en ajoute un.
Avec dix plans, le maximum sous cette contrainte est 92 morceaux. Un point commun à tous les plans empêche d’atteindre le maximum général.
Les maxima sont strictement croissants, puisque chaque nouvelle coupe bien placée ajoute au moins un morceau. C10 = 176 < 200, tandis que C11 = (11³ + 5 × 11 + 6)/6 = 232 ≥ 200. Le minimum est donc 11 coupes pour obtenir au moins 200 morceaux.
Il ne s’agit pas de démontrer qu’on peut obtenir exactement 200 morceaux : ici, le seuil demandé est « au moins ».
On prolonge le même principe : un nouvel hyperplan à trois dimensions est découpé par les précédents, puis ajoute autant de régions que le problème tridimensionnel.
Avec dix hyperplans : 1 + 10 + 45 + 120 + 210 = 386 régions. Cette généralisation géométrique est hors programme ; l’identité de Pascal permet de comprendre la formule combinatoire.
Les règles changent. Dans un modèle idéal où l’on peut à chaque étape placer toutes les pièces pour que la même coupe partage chacune en deux, on atteint 2n morceaux. Une coupe ne peut pas plus que doubler le nombre de pièces si chaque pièce convexe est rencontrée une fois par le plan.
En empilant des demi-blocs identiques après chaque coupe, le doublement est réalisable dans un modèle sans contrainte de taille de lame ou de pile. Pour dix coupes, le maximum de ce nouveau modèle vaut 1 024 morceaux. Cela explique pourquoi la règle « sans déplacer les pièces » est essentielle.
Cette vérification d’existence est un prolongement facultatif. Les coordonnées ne sont pas nécessaires dans l’exposé de dix minutes.
Dans le cube −1 ≤ x, y, z ≤ 1, on peut choisir les dix plans Pt, pour t = 1, 2, …, 10 :
Trois indices distincts a, b, c donnent un point d’intersection unique :
Les coordonnées vérifient 0 < x ≤ 0,242, −0,027 ≤ y < 0 et 0 < z ≤ 0,72. Tous ces points sont donc strictement à l’intérieur du cube.
En effet, être sur Pt signifie que t est une racine de t³/1 000 + yt² + xt − z. Pour le point ci-dessus, ce polynôme est (t − a)(t − b)(t − c)/1 000. Il ne peut pas avoir une quatrième racine distincte : aucun quadruple de plans n’a de point commun.
Chaque triple a un point unique, et les intersections utiles sont intérieures. Dans chaque nouveau plan, les traces des anciens plans sont donc des droites en position générale, avec toutes leurs intersections dans la section du cube. Chaque étape réalise l’accroissement maximal, ce qui produit bien 176 régions de volume positif.
Les figures de disques représentent le problème plan ou une section d’un plan de coupe. Elles ne prétendent pas montrer les 176 morceaux du solide sur un seul dessin.
Une configuration quelconque ne suffit pas : toutes les intersections nécessaires doivent être dans le gâteau, avec des directions générales. Des morceaux minuscules et fragiles peuvent apparaître. Le modèle traite la géométrie des régions, sans imposer des parts égales.
Des coupes d’épaisseur positive, des lames de taille limitée ou un gâteau non convexe nécessitent un autre modèle. Le résultat n’est pas une technique pratique de service pour 176 invités.
La démonstration pédagogique, les variantes et la construction explicite sont développées pour cette fiche. La formule et les valeurs numériques ont été vérifiées indépendamment.