Une famille d’intégrales de puissances de sinus conduit à un produit infini constitué uniquement d’entiers dont la limite vaut π/2.
Il part d’intégrales accessibles, fait apparaître une relation de récurrence, utilise un encadrement et le théorème des gendarmes, puis débouche sur une formule spectaculaire pour π. Il relie naturellement plusieurs thèmes de Terminale.
Le nombre \(\pi\) apparaît naturellement dans la géométrie du cercle, mais on le rencontre aussi dans des domaines qui semblent beaucoup plus éloignés. Au XVIIe siècle, John Wallis a obtenu une formule remarquable sous la forme d’un produit infini. Une manière moderne de comprendre cette formule consiste à étudier une famille d’intégrales.
Ma problématique est donc : comment les intégrales de Wallis permettent-elles de donner une approximation du nombre \(\pi\) ?
Je vais définir ces intégrales, établir une relation de récurrence, comparer les cas pairs et impairs, puis faire apparaître un produit dont les valeurs se rapprochent progressivement de \(\pi/2\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \[ \boxed{I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,dx}. \] Les deux premières valeurs sont simples :
Pour \(n=0\), on a \[ I_0=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\boxed{\frac\pi2}. \] Pour \(n=1\), \[ I_1=\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\boxed{1}. \]
La présence de \(\pi\) apparaît donc dès la première intégrale, mais l’objectif est justement de construire une formule qui permettra de l’approcher à partir de produits rationnels.
On peut déjà observer géométriquement ce qui se passe. Quand \(n\) augmente, la fonction \(\sin^n x\) devient très petite sauf près de \(x=\pi/2\), où \(\sin x\) est proche de 1. L’aire sous la courbe diminue donc avec \(n\), mais de façon très régulière. Cette régularité est exactement ce que la relation de récurrence va exploiter.
Pour \(n\ge2\), une intégration par parties conduit à la relation classique : \[ \boxed{I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}}. \]
Si l’on souhaite rester strictement dans le cœur des outils du lycée, cette relation peut être admise puis exploitée. Elle est surtout intéressante parce qu’elle permet de ramener une intégrale d’exposant \(n\) à une intégrale d’exposant \(n-2\).
Pour comprendre d’où vient cette relation, on peut esquisser le calcul. Écrivons \[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\,\sin x\,dx. \] Une intégration par parties, avec \(u=\sin^{n-1}x\) et \(dv=\sin x\,dx\), donne un terme de bord nul et conduit après simplification à \[ nI_n=(n-1)I_{n-2}. \] On retrouve donc bien \[ \boxed{I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}}. \] Cette étape est intéressante même si on choisit de l’admettre à l’oral : elle montre pourquoi la récurrence n’est pas une formule sortie de nulle part, mais une conséquence directe du calcul intégral.
Par exemple : \[ I_2=\frac12 I_0=\frac\pi4, \] \[ I_3=\frac23 I_1=\frac23, \] et \[ I_4=\frac34 I_2=\frac{3\pi}{16}. \]
Les exposants pairs ramènent donc à \(I_0=\pi/2\), tandis que les exposants impairs ramènent à \(I_1=1\).
En répétant la relation de récurrence, on obtient pour les indices pairs : \[ I_{2n} = \frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac12\,\frac\pi2. \] On peut écrire : \[ \boxed{ I_{2n}=\frac\pi2\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} }. \]
Pour les indices impairs : \[ I_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots\frac23, \] donc \[ \boxed{ I_{2n+1}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1} }. \]
On possède maintenant deux expressions faisant intervenir presque les mêmes entiers, mais l’une contient \(\pi\) et l’autre non. C’est cette comparaison qui va faire apparaître la formule de Wallis.
On peut aussi lire ces formules comme deux suites emboîtées. Les intégrales d’indice pair contiennent toujours le facteur \(\pi/2\), alors que celles d’indice impair sont entièrement rationnelles. Plus \(n\) est grand, plus les deux intégrales voisines \(I_{2n}\) et \(I_{2n+1}\) sont proches. C’est donc précisément leur quotient qui va permettre d’isoler \(\pi\).
Sur l’intervalle \([0;\pi/2]\), on a \[ 0\le\sin x\le1. \] Donc, lorsque l’exposant augmente, \[ \sin^{n+1}x\le\sin^n x, \] ce qui donne \[ I_{n+1}\le I_n. \]
En particulier : \[ I_{2n+1}\le I_{2n}\le I_{2n-1}. \] Or la relation de récurrence donne \[ I_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}I_{2n-1}. \] Ainsi : \[ 1\le\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le\frac{2n+1}{2n}. \] Comme \[ \frac{2n+1}{2n}\longrightarrow1, \] le théorème des gendarmes donne \[ \boxed{\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\longrightarrow1}. \]
Calculons maintenant le quotient à l’aide des expressions précédentes :
\[ \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = \frac{2}{\pi} \prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}. \]Posons \[ \boxed{ W_n= \prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)} }. \] Comme le quotient des intégrales tend vers 1, on obtient : \[ \frac{2}{\pi}W_n\longrightarrow1. \] Donc : \[ \boxed{W_n\longrightarrow\frac\pi2}. \]
C’est le produit de Wallis : \[ \boxed{ \frac\pi2 = \frac{2\times2}{1\times3} \frac{4\times4}{3\times5} \frac{6\times6}{5\times7}\cdots }. \]
On peut développer les premiers termes du produit pour voir apparaître une structure très simple : \[ W_n= \frac{2}{1}\frac{2}{3} \frac{4}{3}\frac{4}{5} \frac{6}{5}\frac{6}{7}\cdots. \] Chaque entier pair apparaît deux fois au numérateur, tandis que les entiers impairs se succèdent au dénominateur. C’est étonnant : une constante aussi géométrique que \(\pi\) est ainsi obtenue comme limite d’un produit ne comportant que des nombres entiers.
Si \[ W_n\approx\frac\pi2, \] alors on peut prendre comme approximation : \[ \boxed{\pi_n=2W_n}. \]
Avec un seul facteur : \[ \pi_1=2\times\frac43=\frac83\approx2{,}66667. \] Avec cinq facteurs : \[ \boxed{\pi_5\approx3{,}00218}. \] Avec dix facteurs : \[ \boxed{\pi_{10}\approx3{,}06770}. \] Avec cent facteurs : \[ \boxed{\pi_{100}\approx3{,}13379}. \] Et avec mille facteurs : \[ \boxed{\pi_{1000}\approx3{,}14081}. \]
Les valeurs se rapprochent bien de \(\pi\approx3{,}14159\).
Le fait que les approximations restent inférieures à \(\pi\) se lit directement dans le raisonnement. On a
\[
I_{2n+1}
Le produit de Wallis est magnifique parce qu’il transforme \(\pi\) en un produit constitué uniquement d’entiers. Mais il n’est pas efficace pour calculer beaucoup de décimales.
Avec 1000 facteurs, on n’obtient encore que \[ 3{,}14081, \] alors que \[ \pi\approx3{,}14159. \] L’erreur est encore d’environ \[ \boxed{7{,}85\times10^{-4}}. \]
Avec 10 000 facteurs, on obtient environ \[ \boxed{3{,}141514}, \] ce qui montre que la convergence existe mais reste lente. Pour le calcul numérique moderne de \(\pi\), on utilise donc des formules beaucoup plus rapides.
Cette lenteur est elle-même instructive. Le terme général du produit est \[ \frac{4k^2}{4k^2-1}, \] qui se rapproche de 1 lorsque \(k\) devient grand. Les nouveaux facteurs modifient donc de moins en moins le résultat. Cela suffit pour comprendre qualitativement pourquoi il faut beaucoup de facteurs pour gagner quelques décimales supplémentaires.
Au départ, on étudie seulement des aires sous les courbes \[ y=\sin^n x \] sur l’intervalle \([0;\pi/2]\). Puis une relation de récurrence sépare naturellement les indices pairs et impairs. Enfin, la comparaison de deux suites d’intégrales produit une formule infinie pour \(\pi\).
Le résultat relie donc plusieurs idées : intégrales, suites, produits, encadrements et limites. Il montre aussi qu’une constante géométrique peut apparaître dans une construction purement analytique.
Le produit de Wallis est aussi intéressant parce qu’il change complètement la manière dont on regarde \(\pi\). Dans la géométrie, \(\pi\) est lié au cercle. Ici, il apparaît comme limite d’une suite construite uniquement avec des fractions rationnelles.
John Wallis publie cette formule au XVIIe siècle. Elle constitue l’un des premiers exemples célèbres de produit infini donnant une constante aussi importante. Aujourd’hui encore, elle sert surtout à illustrer la puissance des raisonnements de passage à la limite.
Elle montre aussi une idée importante : une approximation n’a pas besoin d’être exacte à chaque étape pour être mathématiquement utile. Chaque \(\pi_n\) est rationnel et différent de \(\pi\), mais la suite entière contient de plus en plus d’information sur \(\pi\) parce que \[ \boxed{\pi_n\longrightarrow\pi}. \] Le passage à la limite permet donc d’atteindre un nombre irrationnel à partir d’une suite de nombres rationnels.
Les intégrales de Wallis vérifient \[ I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}. \] En séparant les termes pairs et impairs puis en montrant que \[ \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\to1, \] on obtient : \[ \boxed{ \frac\pi2 = \prod_{k=1}^{+\infty} \frac{4k^2}{4k^2-1} }. \]
En tronquant ce produit après \(n\) facteurs, on obtient donc une approximation de \(\pi\). La méthode n’est pas la plus rapide, mais elle est remarquable parce qu’elle fait surgir \(\pi\) d’une comparaison entre intégrales et d’un raisonnement de limite.
Ce qui est particulièrement intéressant pour un Grand Oral, c’est que la méthode fait intervenir une chaîne complète de raisonnements : calcul intégral, relation de récurrence, séparation pair/impair, encadrement, théorème des gendarmes puis interprétation numérique. On ne se contente donc pas d’annoncer une formule de \(\pi\) : on comprend pourquoi elle apparaît.
La démonstration classique de la récurrence utilise une intégration par parties. Si l’on souhaite rester strictement dans le cœur du programme, on peut admettre cette relation puis consacrer l’oral à son exploitation par les suites, l’encadrement et les limites.