Exposé rédigé — environ 10 minutes
Ce texte est une trame d’entraînement. Les horaires indiquent le rythme visé ; présenter avec ses mots et refaire les calculs sur le support.
00:00 – 01:05Une roue de chance… ou de calcul
Imaginez une fête de village. Un stand propose de lancer un dé équilibré : si le six sort, on reçoit un lot valant 6 euros ; avec quatre ou cinq, un lot de 3 euros ; avec un, deux ou trois, aucun lot. Le droit de jouer coûte 2,50 euros. Les règles semblent simples, les lots attirants. Pourtant, une question se pose : le stand est-il avantageux pour le joueur, ou pour l’organisateur ?
La réponse demande de distinguer ce que nous pouvons gagner une fois et ce que nous pouvons espérer gagner en moyenne. Je vais transformer ce jeu en une variable aléatoire, calculer son espérance et expliquer pourquoi un jeu peut rapporter parfois tout en faisant perdre de l’argent en moyenne.
01:05 – 02:15Mettre les règles en langage mathématique
Je suppose que les six faces du dé sont équiprobables. Il s’agit d’un modèle : un dé truqué modifierait tous les calculs. Notons \(Y\) la valeur du lot reçu avant le paiement. Trois montants sont possibles. Six euros arrivent sur une face, soit une probabilité \(1/6\). Trois euros arrivent sur deux faces, soit \(2/6\). Le lot nul correspond aux trois autres faces, soit \(3/6\).
La somme des probabilités vaut bien un, ce qui vérifie que nous avons envisagé tous les cas possibles. Décrire précisément les issues est la première étape. Sans cela, une belle formule ne sert à rien.
02:15 – 03:35Le calcul décisif : l’espérance
L’espérance de la variable aléatoire \(Y\) se calcule en multipliant chaque valeur possible par sa probabilité, puis en additionnant. Ici, \(E(Y)=6\times\frac16+3\times\frac26+0\times\frac36=2\) euros. Ce résultat n’est pas l’un des lots possibles : on ne gagne jamais exactement 2 euros de lot. Il représente une moyenne mathématique.
Le ticket coûte 2,50 euros. Si je note \(X=Y-2{,}50\) le gain net, j’utilise la linéarité de l’espérance : \(E(X)=E(Y)-2{,}50=-0{,}50\) euro. En moyenne, chaque partie représente donc une perte de cinquante centimes pour le joueur.
03:35 – 04:45Un jeu équitable, cela veut dire quoi ?
On qualifie de jeu équitable un jeu dont le gain net a une espérance nulle. L’équité ne veut pas dire que tous les joueurs reçoivent la même chose, ni qu’ils gagnent une partie sur deux. Elle signifie uniquement qu’à long terme les gains et les pertes moyens s’équilibrent dans le modèle.
Pour notre stand, le prix équitable est donc exactement 2 euros : c’est la valeur moyenne du lot. Si le ticket coûte davantage, l’espérance du joueur est négative. S’il coûte moins, elle devient positive. Nous venons de trouver une méthode générale pour fixer le prix théorique d’un jeu.
04:45 – 05:55Pourquoi peut-on gagner et pourtant perdre ?
Un joueur peut lancer le dé et obtenir six : il reçoit un lot de 6 euros, pour seulement 2,50 euros dépensés. Il gagne alors 3,50 euros sur cette partie. À l’inverse, avec une face un, deux ou trois, il perd immédiatement le prix du ticket. Les résultats individuels varient beaucoup.
La probabilité de gagner un lot de valeur supérieure au ticket est ici \(3/6=1/2\), puisque les faces quatre, cinq ou six suffisent. On pourrait donc dire : « Une chance sur deux de sortir gagnant ! » C’est vrai, mais incomplet. Cela ne dit rien de la taille des gains et des pertes. L’espérance réunit ces deux informations.
05:55 – 07:05Répéter le jeu et comprendre les moyennes
Supposons que nous jouions vingt parties indépendantes, en payant à chaque fois. La somme des gains est \(S=X_1+\cdots+X_{20}\). Même si les gains individuels sont aléatoires, l’espérance de leur somme est facile à trouver : \(E(S)=20E(X)=-10\) euros.
Attention : cela ne veut pas dire qu’on perd exactement dix euros après vingt lancers. On peut gagner ou perdre davantage. Si l’expérience se répète un très grand nombre de fois dans les mêmes conditions, la moyenne observée tend à se rapprocher de l’espérance, ce qu’explique la loi des grands nombres.
07:05 – 08:10Que nous apprend un simulateur ?
Un simulateur peut lancer virtuellement le dé plusieurs centaines de fois et afficher le gain net moyen observé. Pour dix parties, le résultat peut être éloigné de moins cinquante centimes. Pour dix mille parties, il devient généralement beaucoup plus proche. Le simulateur illustre un phénomène ; il ne remplace pas le calcul qui donne l’espérance exacte.
En changeant le prix du ticket, nous pouvons aussi vérifier que l’espérance baisse du même montant. Si le prix augmente d’un euro, l’espérance du joueur baisse exactement d’un euro. La variable aléatoire donne ainsi un outil simple pour comparer plusieurs offres.
08:10 – 09:20De la fête aux décisions quotidiennes
Cette notion n’est pas réservée aux jeux. Une assurance, par exemple, repose sur une comparaison entre les coûts possibles, leurs probabilités et la prime payée. Les organisateurs de jeux, les assureurs et les entreprises raisonnent avec des montants moyens, tout en tenant compte des fluctuations et des dépenses réelles.
Dans mon exemple, j’ai volontairement confondu valeur annoncée du lot et valeur réelle pour celui qui joue. Ce n’est pas toujours vrai : un cadeau affiché à six euros peut valoir beaucoup moins pour son destinataire. L’analyse repose donc sur des hypothèses explicites.
09:20 – 10:00Conclusion : mieux lire une règle du jeu
Nous avons répondu à la question : ce jeu à 2,50 euros n’est pas équitable pour le joueur parce que son gain net moyen vaut moins cinquante centimes. Le même jeu deviendrait équitable à 2 euros, dans notre modèle.
Je retiens surtout une idée : la question intéressante n’est pas simplement « Quelle est ma chance de gagner ? », mais « Combien puis-je gagner ou perdre, et avec quelles probabilités ? ». C’est exactement ce que résume l’espérance mathématique.
Les calculs à savoir refaire au tableau
Un dé équilibré : \(P(Y=0)=3/6\), \(P(Y=3)=2/6\), \(P(Y=6)=1/6\).
\[E(Y)=0\times\frac36+3\times\frac26+6\times\frac16=2\ \text{€}.\]
\[X=Y-c\quad\Longrightarrow\quad E(X)=2-c.\]
\[c=2{,}50\ \text{€}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=-0{,}50\ \text{€}}.\]
\[\text{Jeu équitable}\iff E(X)=0\iff\boxed{c=2\ \text{€}}.\]
\[E(X_1+\cdots+X_n)=n(2-c).\]
15 questions du jury — avec réponses détaillées
Commencer par les cinq premières, puis s’entraîner à répondre sans lire.
1. Qu’est-ce qu’un dé équilibré ?
Un dé équilibré est un modèle dans lequel chacune des six faces a une probabilité \(1/6\). Cette hypothèse permet de calculer exactement les probabilités du jeu.
2. Pourquoi distingue-t-on valeur du lot et gain net ?
La valeur du lot est ce qu’on reçoit ; le gain net retire le prix du ticket. Un lot de trois euros avec un ticket de 2,50 euros rapporte réellement 0,50 euro.
3. Quelles sont les valeurs de la variable \(Y\) ?
Elle vaut zéro, trois ou six euros. La loi de probabilité associe à chacune les probabilités respectives \(3/6\), \(2/6\), \(1/6\).
4. Pourquoi la somme des probabilités vaut-elle un ?
Les six faces se répartissent en trois cas incompatibles couvrant tous les résultats. Les probabilités totalisent \((3+2+1)/6=1\).
5. Comment calcule-t-on l’espérance de \(Y\) ?
On additionne chaque valeur multipliée par sa probabilité : \(0\times3/6+3\times2/6+6\times1/6=2\) euros.
6. Peut-on recevoir exactement deux euros dans ce jeu ?
Non. L’espérance n’est pas nécessairement une valeur possible de la variable aléatoire. Elle décrit une moyenne théorique.
7. Que signifie un jeu équitable ?
Dans ce modèle, un jeu est équitable pour le joueur lorsque l’espérance de son gain net est nulle : il n’existe alors ni avantage ni désavantage moyen.
8. Quel est le prix équitable ?
Deux euros, puisque \(E(Y)=2\). En payant 2 euros, le gain net moyen \(E(Y-2)\) vaut zéro.
9. Pourquoi le prix de 2,50 euros désavantage-t-il le joueur ?
Parce que \(E(Y-2{,}50)=2-2{,}50=-0{,}50\) euro par partie.
10. Quelle est la probabilité de recevoir un lot ?
Les faces 4, 5 et 6 donnent un lot, soit \(3/6=1/2\). Attention : la probabilité de gagner quelque chose ne suffit pas pour juger l’équité.
11. Si l’on joue dix fois, perd-on obligatoirement cinq euros ?
Non. La perte moyenne attendue vaut cinq euros, mais la somme effectivement obtenue est aléatoire et peut être très différente.
12. Pourquoi multiplie-t-on l’espérance par le nombre de parties ?
La linéarité de l’espérance donne \(E(X_1+\dots+X_n)=\sum E(X_i)=nE(X)\). Elle est vraie même sans indépendance, pourvu que ces espérances existent.
13. À quoi sert une simulation ?
Elle permet d’observer des résultats aléatoires et de comparer une moyenne empirique à l’espérance théorique. La simulation ne remplace pas la démonstration.
14. Que devient l’espérance si le ticket passe à trois euros ?
Elle vaut \(2-3=-1\) euro par partie : le jeu devient moins favorable au joueur.
15. Quelle est la principale limite du modèle ?
Il suppose un dé équilibré, des lots disponibles à l’identique et une valeur monétaire de lot qui correspond à l’intérêt réel du joueur.
