Une question concrète et accessible
Combien de fois faut-il lancer un dé pour avoir 95 % de chances d’obtenir un six ?
Événement contraireÉpreuves indépendantesSuite géométriqueLogarithmeModélisation
Le mot « presque sûr » ne signifie pas « certain ». Même après 100 lancers, la possibilité de ne jamais obtenir de six n'est pas nulle.
Le parcours est guidé pour aider à comprendre le raisonnement. Il ne s'agit pas d'une étiquette sur le niveau de l'élève : la qualité de l'oral repose sur la maîtrise réelle des calculs et des explications.
Exposé rédigé — environ 10 minutes
Ne récite pas tout mot à mot : entraîne-toi à expliquer les idées avec tes mots, et à refaire les calculs sur une feuille.
00:00 – 01:05Le pari des 17 lancers
Imaginons une table, un dé ordinaire à six faces et une question qui semble presque enfantine : combien de fois faut-il le lancer pour être presque certain de voir apparaître un six ? Certains disent six lancers, parce qu'il y a six faces. Mais une même face peut sortir plusieurs fois ; rien n'oblige le dé à montrer les six résultats différents. Je vais donc remplacer l'expression vague « presque certain » par un objectif précis : au moins 95 % de chances de réussir. Grâce aux probabilités et aux suites, je vais découvrir un nombre minimal de lancers. Puis je montrerai pourquoi même ce nombre ne garantit jamais le résultat.
01:05 – 02:12Un premier lancer : un calcul évident
Supposons que le dé soit équilibré. Chacune des six faces est alors équiprobable. À un lancer, la probabilité d'obtenir un six est \(1/6\), soit environ 16,7 %. La probabilité de ne pas obtenir de six est donc \(5/6\). Pour deux lancers, on pourrait dresser un tableau avec 36 couples de résultats, mais cela devient vite pénible lorsqu'on répète l'expérience vingt fois. Heureusement, les mathématiques nous donnent une méthode beaucoup plus simple : au lieu de compter les résultats qui nous intéressent, nous allons compter les échecs, c'est-à-dire les séries dans lesquelles aucun six n'apparaît. J'aime cet exemple car il n'a besoin d'aucun appareil compliqué : on peut le reproduire en classe avec un dé et quelques minutes. La difficulté n'est pas dans le lancer, elle est dans la formulation exacte de la question.
02:12 – 03:20Le rôle décisif de l’indépendance
Pour ne jamais obtenir de six en deux lancers, il faut rater le premier ET le second. Si les lancers sont indépendants, la probabilité d'un double échec vaut \((5/6)^2\). Pour trois échecs de suite, elle vaut \((5/6)^3\). En répétant le même raisonnement, la probabilité de n'obtenir aucun six après \(n\) lancers est \((5/6)^n\). Cette multiplication suppose que le résultat du dé ne dépend pas du précédent. Un vrai dé lancé correctement le réalise approximativement. Après cinq échecs, la chance d'obtenir un six au sixième lancer reste donc exactement \(1/6\) dans notre modèle.
03:20 – 04:25L’astuce : calculer l’événement contraire
Ce que nous voulons, ce n'est pas connaître la chance de rater tous les lancers, mais celle de réussir au moins une fois. Or les deux événements sont contraires : soit il y a au moins un six, soit il n'y en a aucun. La somme de leurs probabilités vaut un. J'obtiens ainsi une formule que je peux expliquer de mémoire : \[\boxed{P_n=1-\left(\frac56\right)^n}.\] Cette formule est le cœur de l'exposé. Elle évite de compter séparément les cas où le six apparaît une fois, deux fois, trois fois, etc. C'est une stratégie très utile dans tous les problèmes formulés avec les mots « au moins un ». On peut même examiner la différence entre deux étapes : \(P_{n+1}-P_n=\frac16(\frac56)^n>0\). Cela démontre que chaque nouveau lancer augmente réellement la probabilité de succès, et pas seulement que la courbe semble monter sur un écran.
04:25 – 05:32Pourquoi six lancers ne suffisent-ils pas ?
Testons des valeurs. Après quatre lancers, la probabilité d'avoir vu un six vaut environ 51,8 %. Après six lancers, elle est seulement d'environ 66,5 % : ce n'est pas une garantie du tout. Après dix lancers, on atteint environ 83,8 %. Cette progression est intéressante : la probabilité augmente, mais chaque lancer supplémentaire apporte un gain un peu plus petit. Sur le support visuel, je peux tracer les points de la suite \(P_n\) et voir une courbe qui grimpe de plus en plus lentement vers un. Cela nous conduit naturellement à la notion de limite d'une suite. Pour vérifier que notre réponse sera minimale, j'utiliserai deux valeurs consécutives au seuil recherché : seize et dix-sept. Il ne suffit pas de trouver un entier qui fonctionne ; il faut prouver que le précédent ne convient pas.
05:32 – 06:38Trouver le premier nombre de lancers au-dessus de 95 %
Nous voulons maintenant résoudre \(P_n\geq0,95\). En remplaçant \(P_n\) par notre formule, cela signifie \((5/6)^n\leq0,05\). Avec une calculatrice, on vérifie que pour seize lancers, la probabilité est encore inférieure à 95 %, tandis que pour dix-sept lancers, elle est supérieure à 95 %. Si l'on connaît les logarithmes, on peut résoudre directement : \[n\geq\frac{\ln(0,05)}{\ln(5/6)}\approx16,43.\] Attention : le logarithme de \(5/6\) est négatif, donc le sens de l'inégalité change lorsqu'on divise. Le plus petit entier admissible est alors \(\boxed{17}\).
06:38 – 07:40Une suite qui tend vers un sans jamais l’atteindre
Posons \(u_n=(5/6)^n\). C'est une suite géométrique de raison \(5/6\), un nombre strictement compris entre zéro et un. Nous savons donc que \(u_n\) tend vers zéro. Par conséquent, \(P_n=1-u_n\) tend vers un. En langage courant, si l'on multiplie les lancers, la probabilité d'obtenir au moins un six finit par être aussi proche de 100 % que l'on veut. Mais pour tout nombre fini \(n\), la quantité \((5/6)^n\) reste positive. Donc \(P_n\) reste strictement inférieur à un. Une probabilité très forte n'est jamais une certitude. C'est une idée parfois difficile : une suite peut se rapprocher d'une valeur autant qu'on veut sans jamais l'atteindre. Cette différence est exactement celle qui existe entre une limite et une égalité à un rang fini.
07:40 – 08:48L’expérience et les pièges de l’intuition
On peut simuler des séries de dix-sept lancers, par exemple cent séries indépendantes, puis compter celles qui contiennent au moins un six. Le résultat devrait tourner autour de 95 réussites, mais il peut varier. Sur un petit nombre de séries, il peut même être sensiblement différent. Il ne faut pas confondre une probabilité théorique avec une proportion obtenue dans une expérience. Et il ne faut pas tomber dans le piège du joueur : si les dix premiers lancers ne donnent pas de six, le onzième n'a pas plus de chance d'en donner un. Le dé ne conserve aucune mémoire. Lorsque le nombre de séries simulées augmente, la proportion de réussites tend à se stabiliser autour de la probabilité du modèle. Cela n'empêche pas les petites fluctuations, car le hasard ne suit pas une courbe parfaitement régulière.
08:48 – 10:00Conclusion : que signifie « presque sûr » ?
Nous avons transformé une question simple en un vrai problème mathématique. L'astuce était de passer par l'événement contraire, puis de multiplier des probabilités grâce à l'indépendance. Nous avons obtenu une suite géométrique et trouvé que dix-sept lancers sont nécessaires pour dépasser 95 % de chances d'obtenir au moins un six. Pourtant, la réussite n'est jamais garantie. Cette nuance entre probabilité et certitude est utile bien au-delà du jeu : on la retrouve dans les contrôles de qualité, les sondages ou les tests répétés. Mon résultat tient à des hypothèses : le dé doit être équilibré et les lancers indépendants. Les mathématiques donnent une réponse précise seulement lorsque le modèle est lui-même précisé.
Les calculs à savoir refaire au tableau
On note \(A_n\) l'événement « au moins un six pendant les \(n\) premiers lancers ». Son contraire est \(\overline{A_n}\) : « aucun six ». Par indépendance :
\[P(\overline{A_n})=\underbrace{\frac56\times\cdots\times\frac56}_{n\text{ facteurs}}=\left(\frac56\right)^n.\]
D'où la formule fondamentale : \[\boxed{P(A_n)=1-\left(\frac56\right)^n}.\]
Le seuil de 95 % revient à \((5/6)^n\leq0,05\), soit \(n\geq\ln(0,05)/\ln(5/6)\approx16,43\). Il faut donc au moins \(17\) lancers. La suite \((5/6)^n\) tend vers zéro, donc \(P(A_n)\to1\).
15 questions du jury — avec réponses détaillées
Commence par maîtriser les cinq premières avant de poursuivre : elles constituent la base de la discussion.
1. Qu’appelle-t-on un dé équilibré ?
C'est un dé pour lequel les six faces ont la même probabilité, égale à un sixième.
2. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un six ?
Cinq sixièmes, puisqu'il reste cinq issues sur six.
3. Pourquoi choisit-on l’événement contraire ?
Parce que « aucun six » se calcule directement par un produit ; « au moins un six » regroupe de nombreux cas.
4. Que signifie l’indépendance des lancers ?
Le résultat d'un lancer ne change pas les probabilités des lancers suivants.
5. Pourquoi élève-t-on 5/6 à la puissance n ?
On multiplie n probabilités identiques, chacune égale à 5/6.
6. Pourquoi la probabilité augmente-t-elle avec n ?
Parce que (5/6)^n diminue, donc 1−(5/6)^n augmente.
7. Quelle est la probabilité avec quatre lancers ?
1−(5/6)^4 ≈ 0,5177, soit environ 51,8 %.
8. Six lancers donnent-ils une certitude ?
Non : la probabilité est d'environ 66,5 % seulement.
9. Pourquoi le seuil de 95 % est-il atteint à 17 ?
Le calcul logarithmique donne n ≥ 16,43 ; le premier entier admissible est 17.
10. À quoi sert le logarithme dans le calcul ?
À faire descendre l'exposant n pour résoudre l'inégalité.
11. Pourquoi inverse-t-on une inégalité ?
Parce que ln(5/6) est négatif.
12. Quelle est la limite de Pn ?
Un, puisque (5/6)^n tend vers zéro.
13. Peut-on atteindre 100 % avec un nombre fini ?
Non, car (5/6)^n reste strictement positif pour tout entier fini.
14. La fréquence observée doit-elle être égale à la probabilité ?
Non. Elle fluctue autour de la valeur théorique et s'en rapproche globalement lorsque le nombre de séries augmente.
15. Où cette méthode est-elle utile ?
Pour étudier des essais indépendants avec une probabilité fixe de succès, notamment « au moins un succès ».
