La loi de Benford : une répartition surprenante que les logarithmes permettent de démontrer sous une hypothèse précise.
1 : 30,1 % | 9 : 4,6 %Le chiffre 1 n’est pas universellement plus fréquent. Il le devient dans le modèle où le facteur significatif S, compris entre 1 et 10, est uniformément réparti sur l’échelle logarithmique.
Les repères incluent l’explication des formules et les gestes sur le support. Il faut adapter le texte à sa manière de parler et le chronométrer à voix haute.
Dans une liste de mesures, quel chiffre apparaît le plus souvent au début des nombres ? On pourrait penser que les chiffres de un à neuf ont tous la même chance, soit environ onze pour cent. Pourtant, certaines séries présentent une répartition très différente : le chiffre un arrive en tête dans environ trente pour cent des cas, et le neuf dans moins de cinq pour cent.
C’est la loi de Benford, observée par Simon Newcomb en 1881, puis étudiée par Frank Benford en 1938. Ma problématique est : pourquoi le chiffre 1 apparaît-il si souvent au début des nombres ?
Je vais expliquer cette répartition à l’aide d’une croissance exponentielle et des logarithmes, puis montrer comment les probabilités permettent d’en comprendre les limites.
Il faut d’abord préciser ce que l’on compte. Le premier chiffre significatif est le premier chiffre différent de zéro dans l’écriture décimale. Pour douze, c’est un ; pour zéro virgule zéro zéro quarante-huit, c’est quatre ; pour neuf cent cinq, c’est neuf. Zéro ne peut donc pas être le premier chiffre significatif d’un nombre non nul.
Je travaille avec des nombres strictement positifs. Tout nombre peut s’écrire sous la forme x égale s fois dix puissance k, où k est un entier et s appartient à l’intervalle de un inclus à dix exclu.
Par exemple, sept cent vingt-six s’écrit sept virgule vingt-six fois dix puissance deux. Le nombre s porte toute l’information utile : le premier chiffre vaut d exactement lorsque s est compris entre d inclus et d plus un exclu.
Pour comprendre le mécanisme, je considère une quantité qui croît selon x de t égale dix puissance t, pour t compris entre zéro et un. Elle passe donc de un à dix. C’est un modèle de croissance à taux relatif constant : des durées égales correspondent à des multiplications par le même facteur.
À quel instant atteint-elle une valeur d ? Résoudre dix puissance t égale d donne t égale logarithme népérien de d divisé par logarithme népérien de dix.
Les valeurs qui commencent par un sont ici celles de un à deux. La durée correspondante est logarithme de deux divisé par logarithme de dix, soit environ zéro virgule trois cent un. Celles qui commencent par neuf sont entre neuf et dix. La durée correspondante est logarithme de dix neuvièmes divisé par logarithme de dix, soit environ zéro virgule zéro quarante-six.
Sur le support, le premier intervalle de temps est donc beaucoup plus long que le dernier. Si l’on choisit l’instant d’observation au hasard, uniformément entre zéro et un, on a davantage de chances de voir une valeur qui commence par un. L’hypothèse importante est cette observation uniforme dans le temps.
Dans ce modèle, la probabilité d’observer le chiffre d est le rapport de la durée passée entre d et d plus un à la durée totale, qui vaut un. On soustrait donc les deux instants de passage :
Cette expression s’écrit aussi logarithme décimal de un plus un sur d. On obtient trente virgule un pour cent pour le un, dix-sept virgule six pour cent pour le deux et quatre virgule six pour cent pour le neuf. Le un est ainsi environ six virgule cinquante-huit fois plus probable que le neuf.
On peut vérifier que les neuf probabilités forment bien une loi. Dans leur somme, les différences de logarithmes se simplifient : logarithme de deux moins logarithme de un, puis logarithme de trois moins logarithme de deux, et ainsi de suite. Il reste logarithme de dix moins logarithme de un, divisé par logarithme de dix, donc un.
La diminution est également cohérente : quand d augmente, un sur d diminue. Comme le logarithme est croissant, la probabilité diminue. La formule traduit exactement les longueurs inégales visibles sur l’axe du temps.
On peut retrouver le même résultat avec les intégrales. Dans notre modèle, pour une valeur s entre un et dix, la probabilité d’être en dessous de s est logarithme de s divisé par logarithme de dix. Sa dérivée est un sur s logarithme de dix.
Cette fonction est une densité de probabilité sur cet intervalle : elle est positive et son intégrale totale vaut un. La probabilité d’un premier chiffre d est l’aire sous la courbe entre d et d plus un.
La courbe est décroissante : les premières bandes ont davantage d’aire. Cette lecture est équivalente au calcul des durées. L’intégrale ne rajoute pas une nouvelle hypothèse ; elle exprime le même modèle d’une autre façon.
Pour des données qui couvrent plusieurs puissances de dix, on peut toujours ramener chaque nombre à son facteur s entre un et dix. L’hypothèse qui donne Benford est que le logarithme décimal de ce facteur est uniforme entre zéro et un. Elle concerne la répartition à l’intérieur des échelles, pas seulement l’étendue des nombres.
Un contre-exemple est essentiel. Si je choisis cette fois les valeurs uniformément entre un et dix, les neuf intervalles de un à deux, de deux à trois, jusqu’à neuf à dix ont tous la même longueur. Chaque chiffre a alors la probabilité un neuvième.
Des données peuvent aussi être contraintes : toutes les tailles comprises entre un virgule cinquante et un virgule quatre-vingt-dix commencent par un. Même une série qui s’étend sur beaucoup d’échelles peut contredire Benford : les puissances de dix commencent toutes par un. La loi est un modèle à justifier pour la série étudiée.
Même si le modèle est adapté, une fréquence observée n’est pas exactement égale à la probabilité. Supposons que mille observations soient indépendantes et aient toutes la probabilité p égale logarithme décimal de deux de commencer par un.
Le nombre N de valeurs commençant par un suit alors une loi binomiale de paramètres mille et p. Son espérance vaut mille p, soit environ trois cent un. Son écart type vaut la racine de mille p fois un moins p, soit environ quatorze virgule cinq.
On ne s’attend donc pas à retrouver exactement trois cent un dans chaque échantillon. Un écart peut venir des fluctuations, de dépendances entre observations, d’un mauvais modèle ou d’erreurs dans les données. Il invite à examiner la série ; il ne démontre pas à lui seul une fraude.
Pour répondre à la problématique, le chiffre un est favorisé lorsque l’observation est uniforme sur l’échelle logarithmique. Les logarithmes expliquent alors les probabilités, les intégrales donnent une lecture par les aires, et la loi binomiale rappelle que les fréquences fluctuent.
Calibration : environ 1066 mots hors titres et formules. Les calculs de logarithmes et la comparaison des deux modèles demandent des pauses.
Les deux modèles parcourent les valeurs de 1 à 10 pendant une durée totale de 1. On choisit l’instant d’observation uniformément dans le temps. Changer la vitesse change la loi du premier chiffre.
Le curseur explore 0 ≤ t < 1. Le point t = 1 marque l’entrée dans la décennie suivante et n’affecte pas les probabilités.
Modèle exponentiel : les logarithmes donnent la loi de Benford.
| Premier chiffre | Probabilité | Effectif moyen pour 1 000 valeurs |
|---|---|---|
| 1 | 30,103 % | 301,03 |
| 2 | 17,609 % | 176,09 |
| 3 | 12,494 % | 124,94 |
| 4 | 9,691 % | 96,91 |
| 5 | 7,918 % | 79,18 |
| 6 | 6,695 % | 66,95 |
| 7 | 5,799 % | 57,99 |
| 8 | 5,115 % | 51,15 |
| 9 | 4,576 % | 45,76 |
Les effectifs moyens peuvent être non entiers. Les pourcentages sont arrondis ; les probabilités exactes ont une somme égale à 1.
Le premier chiffre significatif est le premier chiffre non nul. Pour 0,0048, c’est 4. La valeur zéro n’a pas de premier chiffre significatif et doit être exclue du dénombrement, en indiquant combien de zéros ont été écartés.
On peut étudier le premier chiffre significatif de leur valeur absolue : −726 donne 7. Cela ne règle pas la question de l’applicabilité du modèle. Des catégories différentes peuvent devoir être analysées séparément.
Pour x > 0, log10(x) = ln(x)/ln(10). C’est l’exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir x. Le calcul peut donc se faire uniquement avec la fonction ln du programme.
Les neuf possibilités ne sont pas nécessairement équiprobables. L’équiprobabilité doit être justifiée par le modèle de génération ou de sélection. Avec des valeurs uniformes entre 1 et 10, on a 1/9 ; avec des logarithmes uniformes entre 0 et 1, on obtient Benford.
La fonction x(t) = 10t est strictement croissante. Elle atteint d à td = ln(d)/ln(10) et d + 1 à td+1. La différence de ces deux instants est la durée pendant laquelle son premier chiffre vaut d.
Elle vaut environ 17,6 %. Le domaine correspondant au facteur s est [2 ; 3[.
Les intervalles [d ; d + 1[, pour d de 1 à 9, forment une partition de [1 ; 10[. Par le calcul, la somme télescopique des ln(d + 1) − ln(d) vaut ln(10) − ln(1) = ln(10). Après division par ln(10), elle vaut 1.
Pour x > 0, posons g(x) = ln(1 + 1/x)/ln(10). La dérivée vaut g′(x) = −1/[ln(10) × x(x + 1)], qui est strictement négative. En particulier, g(1) > g(2) > ⋯ > g(9).
Pour chaque valeur positive x, écrire x = s × 10k avec 1 ≤ s < 10. On suppose que U = ln(s)/ln(10) est uniforme sur [0 ; 1[. Le premier chiffre vaut d lorsque ln(d)/ln(10) ≤ U < ln(d + 1)/ln(10). La probabilité est alors la longueur de cet intervalle.
Avoir simplement des valeurs réparties sur plusieurs ordres de grandeur ne suffit pas à établir cette hypothèse.
Dans le modèle, la fonction de répartition du facteur S est F(s) = ln(s)/ln(10) entre 1 et 10. Sa dérivée est f(s) = 1/(s ln(10)). L’intégrale de f de 1 à 10 vaut 1. On utilise une densité continue comme prolongement des intégrales ; l’exposé explique d’abord la probabilité par des longueurs de temps.
Les numéros sont des identifiants attribués selon des règles, préfixes et plages. Leur premier chiffre n’est pas produit par le modèle de mesures étudié ici. Il faut analyser ces règles, plutôt que présumer la loi de Benford.
Non. Sous les hypothèses binomiales, l’espérance est 1 000p ≈ 301,03, mais le nombre observé est un entier aléatoire. La variance vaut 1 000p(1 − p) ≈ 210,41, et l’écart type environ 14,51.
On considère 1 000 épreuves de Bernoulli indépendantes, de même probabilité p. Une liste qui recopie plusieurs fois les mêmes valeurs, ou des mesures fortement liées, ne respecte pas nécessairement cette hypothèse. Le seul respect des probabilités marginales de Benford ne donne pas automatiquement une loi binomiale pour le dénombrement.
Pour la fréquence F = N/n, sous les hypothèses binomiales, E(F) = p et V(F) = p(1 − p)/n. L’inégalité de Bienaymé–Tchebychev donne :
Avec n = 1 000 et ε = 0,05, cette borne vaut environ 0,0842. La probabilité d’une fréquence située à moins de cinq points de pourcentage de p est donc au moins 91,58 %. Cette borne est prudente ; ce n’est pas une approximation de la probabilité exacte.
Non. Il peut s’expliquer par les fluctuations, un arrondi, une sélection, des seuils, des dépendances ou un modèle inadapté. Une série fabriquée peut aussi reproduire cette répartition. On doit vérifier le contexte et les données, et ne pas confondre incompatibilité avec un modèle et explication de cette incompatibilité.
Changer d’unité revient à multiplier les valeurs par une constante c > 0. Dans le modèle complet où U = {log10(X)} est uniforme sur [0 ; 1[, on obtient :
Les accolades désignent la partie fractionnaire. Ajouter une constante puis revenir dans [0 ; 1[ effectue une rotation de l’intervalle, qui conserve la répartition uniforme. La loi théorique des chiffres est donc conservée.
Les chiffres individuels et les fréquences d’une liste finie peuvent changer. Seule une multiplication par 10k conserve le premier chiffre de chaque nombre. La démonstration utilise l’uniformité de toute la partie fractionnaire du logarithme ; connaître uniquement les neuf probabilités des premiers chiffres ne suffit pas.
Non : 10n commence toujours par 1. Pour xn = a qn, avec a > 0 et q > 1, log10(xn) = log10(a) + n log10(q). Si log10(q) est rationnel, ses parties fractionnaires sont périodiques.
Si ce logarithme est irrationnel, un théorème d’équirépartition implique Benford à la limite. Ce théorème est hors programme et n’est pas démontré ici. Il s’applique à q = 2 : si log10(2) = r/s avec r, s entiers positifs, alors 2s = 10r = 2r5r, ce qui contredit l’unicité de la décomposition en facteurs premiers. Une croissance géométrique seule n’est donc pas une garantie.
Les puissances de dix constituent déjà un contre-exemple. Prenons aussi tous les entiers de 1 à 999 999, avec une sélection uniforme. Pour un premier chiffre d fixé, il y a 1 + 10 + 100 + 1 000 + 10 000 + 100 000 = 111 111 entiers. Les neuf chiffres ont donc exactement la fréquence 1/9, malgré six ordres de grandeur.
Si l’on ajoute 1 000 000, le chiffre 1 apparaît 111 112 fois sur un million, soit 11,1112 %, toujours très loin de 30,103 %. L’étendue ne remplace pas l’hypothèse sur le logarithme.
Dans le même modèle, un préfixe à deux chiffres m, de 10 à 99, correspond à m/10 ≤ S < (m + 1)/10. Par exemple, le préfixe 12 signifie 1,2 ≤ S < 1,3.
Pour 12, la probabilité vaut log10(13/12) ≈ 0,03476, soit 3,48 %. Le second chiffre seul peut être zéro : pour j entre 0 et 9, on somme log10(1 + 1/(10k + j)) pour k de 1 à 9. On trouve environ 11,97 % pour j = 0 et 8,50 % pour j = 9. Il n’est donc pas exactement uniforme.
La multiplication et l’addition ont des effets différents sur le logarithme. Contre-exemple : prenons X = 10U, avec U uniforme sur [0 ; 1[. X suit le modèle Benford. Mais X + 10 appartient à [11 ; 20[, donc commence toujours par 1. Une translation ne conserve pas en général la loi.
De même, on ne peut pas prolonger la densité 1/(x ln(10)) à tous les nombres positifs pour en faire une densité totale : son intégrale diverge. Dans l’exposé, cette densité est celle du facteur S sur [1 ; 10[.
Le premier chiffre non nul est étudié après exclusion des zéros et, si pertinent, passage aux valeurs absolues. Les arrondis, valeurs imposées, seuils, identifiants et choix d’échantillonnage peuvent modifier la répartition.
L’invariance par multiplication concerne la loi théorique complète du facteur significatif. Une liste finie peut changer de fréquences après une conversion d’unité. Les calculs binomiaux ajoutent des hypothèses d’indépendance et de même probabilité.
Le module représente des probabilités calculées, sans jeu de données prétendument réel ni tirage simulé. Un désaccord avec le modèle exige d’en chercher la cause ; un accord ne garantit pas l’authenticité des données.
La démonstration par les durées, les calculs numériques, les deux modèles interactifs et les contre-exemples sont développés et vérifiés pour cette fiche.