Un profil ADN rare est-il une preuve ? Probabilités conditionnelles, loi binomiale et rapport de vraisemblance permettent de mesurer la force d’un indice sans confondre science et verdict.
Il part d’une question immédiatement parlante — « une correspondance ADN suffit-elle ? » — et conduit à un vrai raisonnement de Terminale : loi binomiale, espérance, événement contraire et probabilités conditionnelles. Le cœur du sujet est autant mathématique que critique : savoir ne pas inverser une condition.
Dans les séries policières, une correspondance ADN est parfois présentée comme une conclusion : « le profil correspond, donc nous avons trouvé le coupable ». Mathématiquement, le raisonnement est beaucoup plus subtil. Un profil génétique peut constituer un indice extrêmement fort, mais il faut distinguer la probabilité d’observer cet indice sous différentes hypothèses de la probabilité qu’une personne soit coupable.
Ma problématique est donc : en quoi les mathématiques permettent-elles l’avancée d’une enquête criminelle, et comment peuvent-elles mesurer la force d’un indice sans le transformer abusivement en preuve de culpabilité ?
Je vais me concentrer sur un exemple ADN simplifié, car il permet de mobiliser probabilités conditionnelles, loi binomiale et raisonnement bayésien. J’évoquerai ensuite ce que les mathématiques peuvent réellement apporter à l’enquête.
Je note \(M\) l’événement « le profil génétique observé sur la trace correspond au profil de la personne testée ». Je suppose, dans un exemple purement pédagogique, que pour une personne qui n’est pas la source de la trace, la probabilité d’une correspondance vaut \[ q=10^{-5}. \] Cela signifie une chance sur cent mille pour une personne non-source choisie selon le modèle.
Une erreur intuitive consiste à entendre « une chance sur cent mille » et à penser immédiatement « il n’y a pratiquement personne d’autre ». Mais la taille de la population compte.
Supposons que l’on considère \(N=1\,000\,000\) personnes et, pour simplifier, que les correspondances soient indépendantes et de même probabilité \(q\). Si \(X\) désigne le nombre de personnes non-sources qui correspondent au profil, alors \[ X\sim\mathcal B(N,q) \] et \[ E(X)=Nq. \] Donc \[ \boxed{E(X)=1\,000\,000\times10^{-5}=10}. \]
Attention : cela ne signifie pas qu’il y aura exactement dix personnes. C’est une espérance. Mais cela suffit à montrer qu’un événement très rare à l’échelle individuelle peut produire plusieurs correspondances lorsqu’on recherche dans une grande population.
Dans le même modèle, la probabilité qu’aucune des \(N\) personnes non-sources ne corresponde vaut \[ (1-q)^N. \] La probabilité d’obtenir au moins une correspondance fortuite est donc \[ \boxed{1-(1-q)^N}. \]
Avec \(q=10^{-5}\) et \(N=10^6\), \[ 1-(1-10^{-5})^{10^6}\approx0{,}99995. \] Dans ce modèle très simplifié, il serait donc presque certain d’obtenir au moins une correspondance fortuite si l’on testait un million de personnes.
Ce calcul ne décrit pas directement le fonctionnement réel d’une base ADN : il sert à mettre en évidence un principe mathématique. Une fréquence faible doit toujours être interprétée avec le nombre de comparaisons effectuées et avec les hypothèses du modèle.
Je note maintenant \(S\) l’hypothèse « la personne testée est la source de la trace ». Le nombre \(10^{-5}\) représente dans notre exemple \[ P(M\mid\overline S), \] c’est-à-dire la probabilité d’observer une correspondance si la personne n’est pas la source.
Mais la question que l’enquêteur aimerait connaître est plutôt \[ P(S\mid M), \] la probabilité que la personne soit la source sachant qu’il y a correspondance.
Ces deux probabilités ne sont pas égales : \[ \boxed{P(M\mid\overline S)\neq P(\overline S\mid M)}. \]
Confondre les deux est ce que l’on appelle le sophisme du procureur. Dire « une personne qui n’est pas la source n’aurait qu’une chance sur cent mille de correspondre » ne permet pas de conclure « il y a une chance sur cent mille que la personne ne soit pas la source ».
La première quantité mesure la probabilité de l’indice sous une hypothèse. La seconde concerne la probabilité de l’hypothèse après avoir observé l’indice. Pour passer de l’une à l’autre, il faut tenir compte du contexte initial.
Prenons un modèle volontairement artificiel mais très instructif : imaginons qu’avant l’analyse ADN, une personne ait été choisie au hasard parmi un million de personnes toutes considérées comme également plausibles pour être la source. Alors \[ P(S)=10^{-6}. \] Supposons aussi, pour simplifier, que si cette personne est effectivement la source, la correspondance soit certaine : \[ P(M\mid S)=1. \]
La formule des probabilités conditionnelles donne \[ P(S\mid M) = \frac{P(M\mid S)P(S)} {P(M\mid S)P(S)+P(M\mid\overline S)P(\overline S)}. \] En remplaçant, \[ P(S\mid M) = \frac{10^{-6}} {10^{-6}+10^{-5}(1-10^{-6})} \approx0{,}091. \]
Donc, dans ce modèle très particulier, une correspondance pourtant rare ne conduirait qu’à environ 9 % de probabilité que la personne soit la source. Ce chiffre n’est évidemment pas une règle judiciaire : il dépend entièrement de notre hypothèse initiale, ici le choix au hasard parmi un million de personnes.
Si d’autres éléments indépendants avaient déjà réduit sérieusement le nombre de sources plausibles avant l’analyse ADN, la même correspondance aurait un poids beaucoup plus important. Les probabilités montrent donc que la valeur d’un indice dépend du contexte dans lequel il est interprété.
En science forensique, une manière rigoureuse d’exprimer la force d’observations consiste à comparer leur probabilité sous deux propositions. Dans notre exemple simplifié, on peut définir \[ LR= \frac{P(M\mid S)} {P(M\mid\overline S)}. \] Avec \[ P(M\mid S)\approx1 \qquad\text{et}\qquad P(M\mid\overline S)=10^{-5}, \] on obtient \[ \boxed{LR\approx100\,000}. \]
La bonne interprétation est : la correspondance observée est environ cent mille fois plus probable si la personne est la source de la trace que si elle ne l’est pas, dans notre modèle.
Cette formulation est très différente de « la personne a 99,999 % de chances d’être coupable ». Le rapport de vraisemblance compare deux explications de l’indice ; il ne calcule pas directement la probabilité de culpabilité.
Et même « être la source de l’ADN » n’est pas équivalent à « avoir commis le crime ». Une trace peut avoir été déposée auparavant, transférée indirectement ou être interprétée dans un contexte plus complexe. C’est pour cela que les experts distinguent la probabilité des observations de la probabilité des propositions judiciaires.
Une enquête peut mobiliser d’autres modèles mathématiques. La géométrie peut intervenir pour croiser des distances ou des directions et restreindre une zone de localisation. Des modèles d’évolution exponentielle ou différentielle peuvent intervenir dans certaines estimations temporelles, à condition d’énoncer leurs hypothèses. Les statistiques servent aussi à évaluer l’incertitude des mesures et les taux d’erreur de méthodes d’analyse.
Mais le même principe doit rester présent : un modèle mathématique n’est utile que si ses hypothèses sont justifiées. Deux indices ne peuvent pas forcément être multipliés comme s’ils étaient indépendants. Une mesure peut être contaminée. Une population de référence peut être mal choisie. Une trace biologique peut avoir plusieurs explications possibles.
Les mathématiques rendent donc l’enquête plus quantitative, mais elles obligent surtout à expliciter ce que l’on suppose.
Je peux maintenant répondre à ma problématique. Les mathématiques font avancer une enquête en permettant de mesurer la rareté d’une observation, d’estimer le nombre de correspondances possibles, de comparer plusieurs hypothèses et de quantifier la force d’un indice.
Les probabilités conditionnelles montrent surtout qu’il faut résister à une confusion très intuitive : la probabilité d’observer un indice sous une hypothèse n’est pas la probabilité de cette hypothèse après observation de l’indice.
La conclusion essentielle est donc : \[ \boxed{\text{un indice très fort n’est pas, à lui seul, une probabilité de culpabilité}.} \] Les mathématiques aident à raisonner plus rigoureusement ; elles ne remplacent ni les autres éléments de l’enquête, ni l’interprétation scientifique, ni la décision judiciaire.
Il faut aussi distinguer trois questions : « la personne correspond-elle au profil ? », « est-elle la source de la trace ? » et « a-t-elle commis l’infraction ? ». Ce ne sont pas des événements équivalents.