Le paradoxe de Braess : une route supplémentaire peut faire passer le trajet de 65 à 80 minutes pour tous les automobilistes.
Un choix supplémentaire semble toujours utile. Mais, dans un réseau, les décisions individuelles modifient les temps subis par tous. On démontre ici un résultat surprenant, puis on utilise une fonction du second degré pour expliquer l’écart entre équilibre et efficacité collective.
Les indications de durée comprennent la lecture des formules et les gestes sur le support. Le texte est un exemple de rédaction à adapter et à chronométrer à voix haute.
Imaginez une ville dans laquelle quatre mille automobilistes prennent chaque matin soixante-cinq minutes pour rejoindre leur destination. Pour améliorer la circulation, on ouvre un raccourci extrêmement rapide. Les conducteurs peuvent toujours emprunter les anciennes routes : ils disposent simplement d’un choix supplémentaire.
On pourrait donc penser que personne ne peut être perdant. Pourtant, après l’ouverture, chaque trajet dure quatre-vingts minutes. La nouvelle route fait perdre quinze minutes à tout le monde. Et sa fermeture permet de retrouver les soixante-cinq minutes initiales.
Ce phénomène porte le nom de paradoxe de Braess. Ma question est : Comment la fermeture d’une route peut-elle réduire les embouteillages ?
Je vais le démontrer sur un petit réseau, puis utiliser la dérivation pour distinguer deux objectifs : choisir son meilleur trajet et organiser la circulation de tous.
Sur mon support, je représente quatre points : le départ D, l’arrivée F et deux carrefours A et B. Toutes les routes sont à sens unique, dans le sens des flèches. Les quatre mille conducteurs veulent aller de D à F.
Deux tronçons, D vers B et A vers F, prennent toujours quarante-cinq minutes. Les deux autres, D vers A et B vers F, sont sensibles à la congestion. Si un tronçon reçoit n véhicules, son temps de parcours, en minutes, est donné par la fonction :
Avec deux mille véhicules, ce temps vaut vingt minutes ; avec quatre mille, il vaut quarante minutes. La fonction est croissante : davantage de véhicules signifie davantage de temps.
Je suppose que les conducteurs connaissent les temps de parcours et cherchent à minimiser leur propre durée. Je raisonne sur une répartition stabilisée du trafic, en négligeant l’effet d’un véhicule isolé. Ce modèle décrit une situation idéale, pas les embouteillages d’une ville réelle dans tous leurs détails.
Sans raccourci, deux itinéraires existent : D, A, F, par le haut, ou D, B, F, par le bas. J’appelle x le nombre de conducteurs sur l’itinéraire supérieur. Il en reste quatre mille moins x sur l’autre.
Si l’un des trajets est plus rapide, des conducteurs du trajet le plus lent ont intérêt à changer. À l’équilibre, aucun ne peut réduire sa durée par un changement individuel. Ici, les deux itinéraires sont utilisés et leurs temps doivent donc être égaux.
Les automobilistes se partagent donc également entre les deux parcours. Pour chacun, un tronçon variable prend vingt minutes et l’autre, fixe, quarante-cinq minutes.
Cette répartition est stable : changer seul d’itinéraire ne permet pas d’aller plus vite. C’est notre situation de référence.
On ouvre maintenant une route de A vers B. Pour simplifier, son temps de parcours est nul : cela représente une liaison très rapide. Un troisième itinéraire devient possible : D, A, B, F.
Pourquoi les conducteurs vont-ils le choisir ? Comparons-le d’abord au trajet supérieur. Les deux trajets partagent D vers A. Ensuite, le raccourci permet de remplacer le tronçon A vers F, qui prend quarante-cinq minutes, par B vers F.
Or ce tronçon variable ne peut jamais recevoir plus de quatre mille véhicules. Son temps est donc au plus de quarante minutes. Le remplacer donne toujours un avantage. Le même raisonnement s’applique au trajet inférieur : on remplace D vers B, qui dure quarante-cinq minutes, par D vers A et le raccourci.
À l’équilibre, tous les conducteurs utilisent donc D, A, B, F. Mais chacun des deux tronçons sensibles à la congestion reçoit maintenant les quatre mille véhicules.
Chaque conducteur perd quinze minutes par rapport à la situation initiale. Pourtant, une fois cette répartition installée, revenir seul à un ancien itinéraire prendrait quarante minutes plus quarante-cinq, soit quatre-vingt-cinq minutes. Personne n’a donc intérêt à le faire.
Le résultat est paradoxal pour notre intuition, mais cohérent : une suite de choix avantageux individuellement conduit à une situation moins favorable pour tous.
Pour aller plus loin, je reviens au réseau sans raccourci. Cherchons la répartition qui minimise le temps moyen de trajet. Il faut calculer une moyenne pondérée : chaque durée est multipliée par le nombre de conducteurs qui la subissent.
En regroupant les termes, pour x compris entre zéro et quatre mille, on obtient :
Cette fonction du second degré est dérivable. Sa dérivée vaut :
Elle est négative avant deux mille, nulle en deux mille, positive ensuite. La fonction décroît puis croît : son minimum est atteint pour deux mille conducteurs sur chaque itinéraire.
Sans raccourci, l’équilibre individuel coïncide donc avec le minimum collectif. Avec le raccourci, cette coïncidence disparaît. La dérivation permet de donner un sens précis au mot « meilleur » : il s’agit ici de minimiser la durée moyenne, pas seulement la durée d’un conducteur particulier.
La route supplémentaire n’est pourtant pas inutile en elle-même. Si une autorité pouvait imposer une répartition, elle pourrait conserver les deux mille véhicules sur chaque ancien trajet et laisser le raccourci inutilisé. Le temps moyen resterait alors égal à soixante-cinq minutes.
On peut même faire légèrement mieux. Plaçons mille sept cent cinquante conducteurs sur chaque ancien itinéraire et cinq cents sur le nouveau. Les deux tronçons variables reçoivent chacun deux mille deux cent cinquante véhicules ; ils prennent donc vingt-deux minutes et demie.
Les anciens itinéraires durent alors soixante-sept minutes et demie, tandis que le trajet central dure quarante-cinq minutes. La durée moyenne est :
C’est un peu moins que soixante-cinq. Mais cette répartition n’est pas stable : les conducteurs des trajets les plus lents voudraient emprunter le raccourci. Elle nécessite une coordination.
Le problème vient donc de l’écart entre deux logiques : réduire sa propre durée et réduire la moyenne. Un conducteur qui change de route tient compte du temps qu’il gagne, mais pas de toute la congestion supplémentaire qu’il impose aux autres.
Ce modèle repose sur des simplifications : un nombre fixe de conducteurs, des routes à sens unique, deux durées constantes, deux fonctions linéaires et un raccourci presque instantané. Il explique un mécanisme possible ; il ne permet pas d’affirmer que fermer n’importe quelle route améliorerait la circulation.
Les idées d’équilibre et de choix stratégiques constituent un prolongement vers la théorie des jeux. En revanche, les calculs principaux utilisent des outils familiers : fonctions, équations, moyenne pondérée et dérivation.
Je peux maintenant répondre à la problématique. Dans notre réseau, ouvrir la liaison A vers B modifie les choix de chacun. Tous empruntent les mêmes tronçons congestionnés et leur temps passe de soixante-cinq à quatre-vingts minutes. Fermer cette liaison rétablit la répartition entre les deux anciens trajets.
La fermeture économise donc quinze minutes à chacun, sans diminuer le nombre de conducteurs. Le paradoxe de Braess montre qu’un réseau doit être étudié avec les comportements qu’il provoque. Ajouter une possibilité peut modifier l’équilibre au détriment de tous.
La question suivante serait alors : peut-on conserver une route utile, tout en organisant les choix pour que l’intérêt de chacun se rapproche de l’intérêt collectif ?
Les boutons affichent des répartitions finales du même modèle : les deux équilibres, puis l’organisation qui minimise la durée moyenne.
| Situation | Haut / bas / centre | Durée moyenne | Équilibre individuel ? |
|---|---|---|---|
| Liaison fermée | 2 000 / 2 000 / 0 | 65 min | Oui |
| Liaison ouverte | 0 / 0 / 4 000 | 80 min | Oui |
| Trafic coordonné | 1 750 / 1 750 / 500 | 64,6875 min | Non, sans incitation |
La coordination minimise la moyenne. Elle donne 67,5 minutes aux 3 500 conducteurs des anciens itinéraires et 45 minutes aux 500 conducteurs du centre.
Le support sert à accompagner l’explication. Il suffit de recopier le schéma central et les deux calculs, sans reproduire la décoration.
Cliquer sur une question pour afficher sa réponse.
Le modèle représente la congestion par la fonction croissante t(n) = n/100. Une hausse de 100 véhicules ajoute une minute sur un tronçon variable. Cette relation linéaire est une simplification.
Non. n est le nombre de véhicules sur le tronçon étudié. Sans raccourci, les deux tronçons variables peuvent avoir des effectifs différents. Avec tout le monde sur le trajet central, chacun en reçoit 4 000.
Les trajets utilisés ont la même durée à l’équilibre. L’équation x/100 + 45 = 45 + (4 000 − x)/100 donne x = 2 000. Les deux cas où tout le trafic serait sur un seul itinéraire sont instables.
Une répartition dans laquelle aucun conducteur ne peut diminuer sa durée en changeant seul d’itinéraire. On néglige l’effet d’un véhicule isolé dans le modèle de trafic continu utilisé ici.
Avec 4 000 véhicules au total, chaque tronçon variable prend au plus 40 minutes. Le trajet central remplace, dans chacun des anciens trajets, un tronçon de 45 minutes par un tronçon d’au plus 40 minutes.
Les 65 minutes correspondent à une autre répartition de l’ensemble du trafic. Quand tout le monde prend le trajet central, revenir seul sur un ancien trajet donnerait 40 + 45 = 85 minutes, dans l’approximation continue.
Non : on idéalise une route très rapide. Le phénomène persiste avec une petite durée positive. Par exemple, avec 2 minutes sur la liaison centrale, tous la choisissent encore et le trajet dure 82 minutes.
À l’ouverture, l’augmentation relative est 15/65 ≈ 23,08 %. À la fermeture, la baisse relative est 15/80 = 18,75 %. Les deux pourcentages utilisent des références différentes.
4 000 × 15 = 60 000 minutes, soit 1 000 heures de trajet cumulées pour l’ensemble des conducteurs, sur une occurrence du trajet.
Les trajets ne sont pas forcément empruntés par autant de personnes. On additionne les durées individuelles, c’est-à-dire effectif × durée pour chaque groupe, puis on divise par 4 000.
f′(x) = (x − 2 000)/100 000. Le dénominateur est positif : le signe change de − à + en 2 000. f atteint donc son minimum, égal à 65, en ce point.
Elle serait ici toujours égale à 65, car T_haut + T_bas = 130. Elle masquerait l’effet des effectifs : avec 4 000 véhicules sur un seul trajet, tous prennent 85 minutes et la moyenne réelle vaut 85.
Ils cherchent chacun à diminuer leur propre durée. Leurs choix sont cohérents avec cet objectif. Mais l’effet de congestion de leur décision sur les autres n’est pas pris en compte dans cet objectif individuel.
Non. Le réseau enrichi conserve tous les anciens itinéraires. Une organisation imposée peut reproduire l’ancienne répartition, ou atteindre une moyenne de 64,6875 minutes avec 500 véhicules sur la liaison centrale.
Fonctions affines, équations, moyennes pondérées, fonctions du second degré, dérivation et étude de variations. Les équilibres de trafic et la théorie des jeux sont des prolongements expliqués sans formalisme avancé.
Supposons 0 ≤ c < 5. Un tronçon variable, même chargé, dure au plus 40 minutes : le détour central coûte au plus 40 + c < 45. Tout le trafic choisit donc le trajet central, qui prend 80 + c minutes.
Pour c = 5, l’avantage devient non strict lorsque les tronçons sont pleins. Au-delà, on doit recalculer l’équilibre ; on ne peut plus supposer que les 4 000 conducteurs prennent le raccourci.
Oui, dans le modèle continu. Appelons a et b les effectifs des anciens trajets et z celui du trajet central, avec a + b + z = 4 000. Les tronçons variables reçoivent a + z et b + z véhicules.
À l’équilibre où les trois trajets sont utilisés, l’égalité entre le trajet central et celui du haut donne (b + z)/100 + 10 = 45 ; avec celui du bas, (a + z)/100 + 10 = 45. Ainsi a + z = b + z = 3 500. On obtient a = b = 500 et z = 3 000.
Les trois itinéraires prennent alors 80 minutes : anciens trajets 35 + 45 ; trajet central 35 + 10 + 35. Le paradoxe subsiste.
Non. Sans raccourci, la durée à l’équilibre vaut 45 + N/200. Pour 0 < N ≤ 4 500, le trajet central à temps nul reçoit tout le trafic et dure N/50. L’ouverture est alors défavorable si N/50 > 45 + N/200, soit N > 3 000.
Exemples : pour N = 2 000, l’ouverture fait passer de 55 à 40 minutes ; pour N = 3 000, elle ne change pas la durée ; pour N = 4 000, elle la fait passer de 65 à 80 minutes.
Dans le modèle continu, pour 4 500 ≤ N ≤ 9 000, l’équilibre avec raccourci dure 90 minutes. À partir de N = 9 000, le raccourci reste inutilisé à l’équilibre. Le paradoxe apparaît donc exactement pour 3 000 < N < 9 000. Les formules à grand N sont un prolongement du modèle idéal.
Oui, pour les durées physiques de ce modèle. Écrivons a = (4 000 − z)/2 + d et b = (4 000 − z)/2 − d. Le temps moyen est :
Pour z fixé, le terme en d² est minimal pour d = 0 : il faut partager également les anciens trajets. On dérive ensuite M(z,0) : M′(z,0) = −1/800 + z/400 000. Le signe passe de − à + pour z = 500.
Le minimum est donc atteint pour a = b = 1 750 et z = 500. Sa valeur est 64,6875 minutes. La démonstration utilise une symétrisation puis une dérivation à une variable.
Dans un modèle où un péage est converti en temps équivalent dans les choix des conducteurs, on peut ajouter un coût de 22,5 minutes sur A → B. Avec a = b = 1 750 et z = 500, les anciens trajets coûtent 67,5 minutes ; le trajet central prend 45 minutes mais son coût perçu vaut 45 + 22,5 = 67,5.
Cette répartition devient un équilibre du modèle continu. Le temps physique moyen reste 64,6875 minutes : le péage n’ajoute pas 22,5 minutes de conduite. C’est une illustration d’incitation ; elle suppose une conversion commune entre argent et temps et ne fixe pas un tarif réel.
Les 65 et 80 minutes sont les résultats du modèle pédagogique, pas les mesures d’une ville déterminée. Le nombre de conducteurs reste fixé ; aucune augmentation du trafic n’est nécessaire pour produire l’effet.
Le calcul raisonne sur des flux continus : on néglige l’impact de chaque véhicule isolé. Dans un modèle discret à 4 000 joueurs, un changement modifie certains temps de 0,01 minute ; cela ne remet pas en cause les équilibres centraux ni les résultats de comparaison.
Le réseau comporte des sens uniques, une liaison seulement de A vers B et des durées connues. Le modèle ignore les files à chaque carrefour, l’évolution dans la journée, les erreurs d’information et les changements de destination.
Programme : le cœur calculatoire utilise des outils du lycée ; la théorie des jeux et les équilibres de trafic sont des prolongements. Le sujet gagne sa profondeur en articulant modélisation, équations et optimisation par dérivation, sans prétendre que la théorie des jeux est un chapitre de Terminale.
Les calculs d’optimisation, les variantes numériques et les réponses au jury sont développés pour cette fiche à partir du modèle indiqué. Aucun exemple urbain n’est utilisé comme preuve des durées 65 et 80 minutes.