Le paradoxe de Condorcet : chacun peut classer les candidats de façon cohérente, alors que la majorité forme un cycle.
Trois bulletins suffisent pour faire apparaître un cycle majoritaire. L’exposé dépasse ensuite l’exemple : effet de l’ordre des duels, dénombrement exact des profils cycliques, modèle probabiliste et répétition d’épreuves indépendantes.
Les temps proposés comprennent les gestes sur le support et l’explication des formules. Adapter le texte à son propre vocabulaire et le chronométrer à voix haute.
Trois personnes doivent choisir entre trois candidats, A, B et C. Chacune sait exactement qui elle préfère et classe les trois candidats sans contradiction. On organise alors un vote à la majorité pour comparer les candidats deux par deux.
Le groupe préfère A à B. Il préfère aussi B à C. On pourrait donc s’attendre à ce qu’il préfère A à C. Pourtant, c’est C qui bat A. Le choix collectif tourne en boucle, alors que personne n’a changé d’avis.
C’est le paradoxe de Condorcet. Ma problématique est : comment trois électeurs parfaitement rationnels peuvent-ils rendre une élection incohérente ?
Je vais construire cet exemple, expliquer pourquoi l’ordre des votes peut changer le gagnant, puis calculer la probabilité du paradoxe dans un modèle simple.
Dans ce sujet, un électeur rationnel possède des préférences cohérentes. Cela ne signifie pas que son opinion est objectivement meilleure. Il peut classer les trois candidats et respecter la transitivité : s’il préfère A à B et B à C, il préfère aussi A à C.
Je propose les trois classements suivants sur mon support. Le premier électeur préfère A, puis B, puis C. Le deuxième préfère B, puis C, puis A. Le troisième préfère C, puis A, puis B.
| Électeur | Premier | Deuxième | Troisième |
|---|---|---|---|
| 1 | A | B | C |
| 2 | B | C | A |
| 3 | C | A | B |
Chaque ligne est un classement parfaitement cohérent. Les électeurs votent sincèrement pour celui qu’ils préfèrent dans chaque duel. Le paradoxe apparaît donc sans mensonge, sans abstention et sans égalité de voix.
La difficulté ne vient pas de leurs préférences individuelles, mais de la manière dont on les rassemble pour obtenir une décision collective.
Comparons A et B. Le premier électeur préfère A à B, comme le troisième. Le deuxième préfère B à A. A gagne donc par deux voix contre une.
Comparons maintenant B et C. Le premier et le deuxième électeur préfèrent B à C. Le troisième préfère C à B. B gagne, lui aussi, par deux voix contre une.
Enfin, comparons C et A. Le deuxième et le troisième électeur préfèrent C à A. Le premier préfère A à C. Cette fois, C gagne par deux voix contre une.
Sur mon support, je dessine trois flèches pour former un cycle. Le groupe ne peut pas être représenté par un classement qui respecterait simultanément ces trois résultats.
L’explication est que les majorités changent : A contre B rassemble les électeurs un et trois ; B contre C rassemble un et deux ; C contre A rassemble deux et trois. Il n’existe pas une même majorité qui impose les trois comparaisons.
Un vainqueur de Condorcet est un candidat qui gagne contre chacun des autres dans un duel majoritaire. Ici, aucun n’existe : chaque candidat gagne un duel et perd l’autre.
Essayons de choisir tout de même un vainqueur en organisant deux duels successifs. Le perdant du premier duel est éliminé ; le gagnant affronte le candidat restant. Les électeurs gardent leurs classements et votent sincèrement.
Si l’on commence par A contre B, A gagne. Mais A affronte ensuite C, qui le bat. Le gagnant final est C. Si l’on commence par B contre C, B gagne, puis A bat B : le gagnant final est A. Enfin, commencer par C contre A conduit à une victoire finale de B.
Les préférences et les électeurs sont exactement les mêmes. Seul l’ordre des duels change. Dans cet exemple, choisir l’ordre des votes permet donc de choisir le gagnant.
Pour calculer une probabilité, il faut maintenant ajouter des hypothèses. Je suppose que chaque électeur choisit au hasard l’un des six classements possibles, tous équiprobables, et que les choix des trois électeurs sont indépendants.
Un classement correspond à une permutation de trois candidats. On a trois choix pour le premier, deux pour le deuxième et un pour le dernier.
Les électeurs étant distingués, un profil précise le classement de chacun. Les deux cent seize profils sont équiprobables.
Comptons ceux qui produisent le cycle A bat B, B bat C et C bat A. Chaque électeur peut soutenir au plus deux de ces trois comparaisons : les soutenir toutes serait incompatible avec un classement cohérent.
Or il faut au moins deux voix dans chacun des trois duels, soit six soutiens au total. Les trois électeurs doivent donc soutenir exactement deux comparaisons chacun. Les seuls classements possibles sont alors A, B, C ; B, C, A ; et C, A, B.
Chacun de ces classements doit apparaître une fois. Si deux électeurs avaient le même classement, ils imposeraient leur ordre dans les trois duels : il n’y aurait pas de cycle. On peut attribuer les trois classements distincts aux trois électeurs de six façons.
Le cycle inverse donne encore six profils. Les deux sens du cycle sont incompatibles : on peut additionner leurs effectifs.
Ce résultat est exact dans le modèle choisi. Il ne signifie pas que toutes les élections réelles ont cinq virgule cinquante-six pour cent de risque de cycle.
Supposons maintenant que l’on répète ce modèle sur dix-huit élections indépendantes. À chaque fois, on génère de nouveaux classements. J’appelle X le nombre d’élections qui présentent un cycle.
Chaque élection constitue une épreuve de Bernoulli : soit un cycle apparaît, soit il n’apparaît pas. Sa probabilité vaut un dix-huitième. Le nombre de cycles suit donc une loi binomiale.
L’espérance vaut un. Mais cela ne garantit pas que l’on observera exactement un cycle. On peut en rencontrer zéro, un, ou plusieurs. Une moyenne théorique n’est pas une certitude.
Pour calculer la probabilité d’en rencontrer au moins un sur n élections indépendantes, je passe par l’événement contraire. Aucune élection n’a de cycle avec la probabilité suivante :
Cette formule montre comment un événement relativement rare à chaque essai peut devenir probable lorsqu’on répète les essais. L’indépendance concerne ici les nouvelles élections, en plus des choix des électeurs dans chacune d’elles.
Le modèle probabiliste est volontairement simple. Dans une élection réelle, les opinions peuvent être liées, certains classements beaucoup plus fréquents que d’autres, et le nombre d’électeurs bien supérieur à trois. Il faut donc distinguer la démonstration d’une possibilité et l’estimation de sa fréquence.
On peut aussi adopter une autre règle pour désigner un gagnant. Par exemple, donner deux points au premier choix, un au deuxième et zéro au dernier. Mais dans notre exemple, chacun des candidats obtient trois points : cette règle donne une égalité. Une procédure complète doit prévoir ce cas.
Je peux maintenant répondre à ma problématique. Trois électeurs rationnels peuvent produire un choix collectif cyclique parce que les majorités qui soutiennent les comparaisons sont différentes. La transitivité des préférences de chaque personne n’impose pas la transitivité des préférences majoritaires.
Le paradoxe ne signifie pas qu’une élection ne peut jamais désigner de gagnant. Il montre qu’un gagnant choisi par une règle n’est pas toujours un candidat préféré à tous les autres en duel.
Les mathématiques obligent donc à préciser ce que l’on veut obtenir : respecter les majorités par paires, produire un classement ou sélectionner un candidat. La règle de décision fait partie du problème.
Changer un classement, puis choisir le premier duel. Les résultats supposent des votes sincères selon les préférences affichées.
| Duel | Voix | Gagnant |
|---|---|---|
| A contre B | 2–1 | A |
| B contre C | 2–1 | B |
| C contre A | 2–1 | C |
La probabilité 1/18 ne dépend pas du profil affiché : elle résulte du tirage uniforme et indépendant des classements parmi les 216 profils. Ce module montre les duels d’un profil donné.
Le candidat peut reproduire les éléments mathématiques sur une feuille, sans copier la décoration. Le triangle sert à montrer le cycle, pas un classement individuel.
Cliquer sur une question pour ouvrir sa réponse.
Un électeur peut classer les trois candidats sans égalité et ses préférences sont transitives. Cela décrit la cohérence de ses choix, sans jugement sur ses opinions ni sur une prétendue qualité objective des candidats.
Si A est préféré à B et B à C, alors A est préféré à C. Cette propriété est respectée par chacun des trois classements individuels et violée par la relation majoritaire de notre exemple.
Aucun bulletin ne contient de cycle. Le cycle apparaît seulement après trois comparaisons majoritaires : la coalition gagnante n’est pas la même dans chaque duel.
A bat B grâce aux électeurs 1 et 3 ; B bat C grâce aux électeurs 1 et 2 ; C bat A grâce aux électeurs 2 et 3. Chaque score est 2 contre 1.
Un candidat qui bat chacun des autres dans une comparaison à la majorité stricte. Dans l’exemple, aucun n’existe. S’il existe, il est unique : deux candidats ne peuvent pas chacun battre l’autre à la majorité stricte.
Non. Une règle peut imposer un ordre de duels ou une procédure de départage. Elle choisit alors un candidat, sans faire disparaître le cycle des préférences majoritaires initiales.
Dans la procédure étudiée, le perdant du premier duel est éliminé. Si A bat B d’abord, C gagne ensuite ; si B bat C d’abord, A gagne ; si C bat A d’abord, B gagne. Les votes restent sincères.
Il s’agit de permutations : 3 possibilités pour le premier candidat, 2 pour le deuxième et 1 pour le troisième. Donc 3! = 6.
Chaque électeur choisit indépendamment parmi 6 ordres. Le principe multiplicatif donne 6 × 6 × 6 = 216. Le nombre 18 serait la somme de trois nombres de possibilités, qui ne compte pas les triplets.
Le modèle tire un classement pour chaque électeur identifié. Une même répartition de classements peut correspondre à plusieurs profils ordonnés. Tirer uniformément des répartitions anonymes serait un autre modèle probabiliste.
Six permutations des classements ABC, BCA, CAB produisent le cycle A bat B, B bat C, C bat A. Six permutations de ACB, CBA, BAC produisent le cycle inverse. Il n’existe pas d’autre profil cyclique à trois électeurs et trois candidats.
Les résultats des duels sont liés : ils proviennent des mêmes classements transitifs. Même si les électeurs sont indépendants, les trois résultats majoritaires ne le sont pas. Multiplier trois probabilités sans justification serait incorrect.
Elle donne le nombre moyen de cycles sur de nombreuses séries de 18 élections simulées. Elle ne garantit ni exactement un cycle dans une série, ni au moins un cycle.
Elle concerne exactement trois électeurs et trois candidats, avec six ordres équiprobables et des électeurs indépendants. Modifier ces hypothèses change la probabilité. Les opinions réelles peuvent être corrélées.
Dénombrement, permutations et principe multiplicatif ; équiprobabilité et indépendance ; événement contraire ; épreuves de Bernoulli et loi binomiale ; espérance. Une relance utilise le logarithme pour résoudre un seuil de probabilité.
Pas nécessairement. On remplace chacun des trois électeurs par un groupe de 100 personnes ayant son classement. A bat B par 200 voix contre 100 ; B bat C par 200 contre 100 ; C bat A par 200 contre 100.
Plus généralement, k électeurs de chaque type produisent le même cycle avec 3k électeurs. Cet exemple montre une possibilité ; il ne calcule pas la probabilité d’un cycle dans un grand électorat aléatoire.
Oui. Gardons ABC pour l’électeur 1 et BCA pour l’électeur 2, mais remplaçons CAB par ACB pour l’électeur 3.
A bat B grâce aux électeurs 1 et 3 ; A bat C grâce aux électeurs 1 et 3. A devient vainqueur de Condorcet. C bat B grâce aux électeurs 2 et 3 : le classement majoritaire est alors A, C, B.
Il bat chacun des autres en duel, car tous les électeurs qui le placent en premier le préfèrent à chaque adversaire. Il est donc vainqueur de Condorcet. Pour trois candidats, cela exclut le cycle de majorité.
Avec davantage de candidats, un cycle peut toujours subsister entre certains candidats moins bien placés, même si le vainqueur de Condorcet existe.
Supposons ces trois ordres équiprobables et les électeurs indépendants. Il y a 3³ = 27 profils. Un cycle apparaît exactement quand les trois ordres sont tous présents : cela fait 3! = 6 profils.
Le cycle inverse est impossible avec ces trois ordres. Avec des probabilités p, q et r pour ces ordres, toujours sous indépendance, la probabilité du cycle vaut 6pqr. Le choix du modèle a donc un effet considérable.
On cherche le plus petit entier n tel que 1 − (17/18)n > 1/2, soit (17/18)n < 1/2. Le logarithme est strictement croissant :
Comme ln(17/18) est négatif, le sens de l’inégalité change lorsqu’on divise :
Le minimum est donc 13 élections. Pour 12, la probabilité vaut environ 49,64 % ; pour 13, elle vaut environ 52,43 %. Cette répétition tire de nouveaux profils : voter plusieurs fois avec les mêmes préférences ne constitue pas une série d’épreuves indépendantes.
Un vainqueur d’un scrutin et un vainqueur de Condorcet sont deux notions différentes. Le paradoxe ne démontre pas qu’aucun scrutin ne fonctionne et ne constitue pas, à lui seul, une démonstration du théorème d’Arrow.
Le dénombrement de 216 profils repose sur trois électeurs identifiés, trois candidats et des classements stricts. La probabilité 1/18 suppose en plus l’équiprobabilité des six ordres et l’indépendance des électeurs. Un modèle uniforme sur les répartitions anonymes serait différent.
La loi binomiale dans l’exposé concerne des élections répétées indépendantes avec de nouveaux classements. Organiser plusieurs duels à partir des mêmes bulletins ne crée pas des événements indépendants.
Les scrutins séquentiels sont étudiés avec des votes sincères : la stratégie électorale pourrait modifier les résultats. Les notions de transitivité et de choix social sont des prolongements ; les calculs de dénombrement et de probabilités relèvent des outils du lycée.
Les exemples, variantes et calculs de répétition ont été développés et vérifiés pour cette fiche. Les hypothèses probabilistes sont indiquées à chaque changement de modèle.