La meilleure stratégie n’est pas forcément de toujours viser son meilleur côté : face à un gardien qui apprend, l’imprévisibilité elle-même peut devenir optimale.
La situation est immédiate, mais le raisonnement est riche : probabilités, fonctions affines, égalisation de deux stratégies et notion de stratégie mixte. Le candidat peut montrer qu’une décision optimale face à un adversaire intelligent peut exiger de rester imprévisible.
Lors d’un penalty, le tireur dispose de très peu de temps et le gardien également. On pourrait croire qu’un bon joueur devrait toujours choisir son côté préféré, celui où il est le plus précis. Pourtant, s’il devient prévisible, le gardien peut l’anticiper. Le problème n’est donc pas seulement technique : il est aussi stratégique.
Ma problématique est : comment les mathématiques peuvent-elles optimiser les chances de réussite lors du tir d’un penalty au football ?
Je vais montrer qu’un penalty peut être modélisé comme un jeu entre deux adversaires. Les probabilités et des fonctions affines permettent alors de comprendre pourquoi une stratégie optimale peut consister à alterner ses choix de façon imprévisible.
Je simplifie volontairement le problème : le tireur choisit gauche ou droite, et le gardien fait de même. Je prends une matrice pédagogique, et non des fréquences réelles universelles :
\[ \begin{array}{c|cc} & \text{Gardien G} & \text{Gardien D}\\ \hline \text{Tireur G} & 0{,}60 & 0{,}90\\ \text{Tireur D} & 0{,}88 & 0{,}55 \end{array} \]
Si le tireur et le gardien choisissent le même côté, la probabilité de marquer est plus faible. Si le gardien part du mauvais côté, elle devient beaucoup plus grande.
Le problème devient interactif : le meilleur choix du tireur dépend de la stratégie du gardien, et inversement. C’est exactement le type de situation étudié en théorie des jeux.
Supposons que le tireur choisisse la gauche avec une probabilité \(q\), et la droite avec la probabilité \(1-q\).
Si le gardien plonge à gauche, la probabilité moyenne de marquer vaut \[ P_G(q)=0{,}60q+0{,}88(1-q), \] donc \[ \boxed{P_G(q)=0{,}88-0{,}28q}. \]
Si le gardien plonge à droite, \[ P_D(q)=0{,}90q+0{,}55(1-q), \] d’où \[ \boxed{P_D(q)=0{,}55+0{,}35q}. \]
Si l’une de ces deux valeurs était nettement plus faible que l’autre, le gardien aurait intérêt à choisir systématiquement le côté qui réduit le plus les chances du tireur. Pour éviter cela, le tireur cherche à rendre le gardien indifférent entre gauche et droite.
On égalise donc : \[ 0{,}88-0{,}28q = 0{,}55+0{,}35q. \] On obtient \[ 0{,}33=0{,}63q, \] puis \[ \boxed{q\approx0{,}524}. \]
Dans ce modèle, le tireur devrait donc choisir la gauche environ 52,4 % du temps et la droite 47,6 % du temps.
En remplaçant \(q\) dans l’une des expressions, \[ P_G(q)\approx0{,}733. \] La probabilité de marquer à l’équilibre est donc d’environ \[ \boxed{73{,}3\%}. \]
Ce résultat est contre-intuitif : le tireur n’optimise pas en choisissant toujours ce qui semble être son meilleur côté. Il optimise en empêchant le gardien de l’exploiter. En théorie des jeux, on parle de stratégie mixte.
On peut faire le raisonnement symétrique. Supposons que le gardien plonge à gauche avec une probabilité \(r\).
Si le tireur choisit la gauche, sa probabilité moyenne de marquer vaut \[ 0{,}60r+0{,}90(1-r) = 0{,}90-0{,}30r. \] S’il choisit la droite, \[ 0{,}88r+0{,}55(1-r) = 0{,}55+0{,}33r. \]
Pour que le tireur soit indifférent entre gauche et droite, le gardien doit vérifier \[ 0{,}90-0{,}30r = 0{,}55+0{,}33r. \] On trouve \[ \boxed{r\approx0{,}556}. \]
Le gardien devrait donc, dans ce modèle, plonger à gauche environ 55,6 % du temps. Les deux joueurs randomisent leur comportement : aucun n’a intérêt à devenir parfaitement prévisible.
Oui, mais il faut distinguer notre matrice pédagogique des données réelles. Une étude de Chiappori, Levitt et Groseclose publiée en 2002 dans l’American Economic Review a justement utilisé les penalties pour tester l’idée d’équilibre en stratégies mixtes avec des joueurs professionnels.
D’autres travaux ont prolongé cette approche en analysant le penalty comme un jeu réel où chacun a intérêt à ne pas révéler une stratégie simple et répétitive.
Une étude portant sur 395 penalties de séances de tirs au but en Coupe du monde et au championnat d’Europe entre 1984 et 2016 a observé 289 réussites, soit 73,2 %. Elle montre aussi que l’interaction entre la stratégie du tireur et le moment auquel le gardien commence à bouger influence la réussite.
Notre résultat de 73,3 % n’est donc pas une estimation empirique universelle : c’est la valeur exacte de notre matrice choisie pour le raisonnement.
Le gardien doit aussi choisir quand partir. S’il attend plus longtemps, il obtient davantage d’informations sur le mouvement du tireur et peut mieux anticiper la direction. Mais il lui reste alors moins de temps pour atteindre le ballon.
À l’inverse, s’il part très tôt, il dispose de davantage de temps pour plonger, mais il révèle sa décision et risque de partir du mauvais côté.
Des travaux de biomécanique modélisent ce compromis entre vitesse du tir, précision, zone visée et moment de départ du gardien. Ils montrent notamment que le meilleur choix dépend du comportement de l’adversaire : un placement efficace contre un gardien qui part tôt n’est pas forcément le même contre un gardien qui attend davantage.
Le penalty devient donc un problème où il faut équilibrer information, temps de réaction et précision.
Les probabilités ne dépendent pas seulement de la géométrie du tir. Une étude portant sur 1 711 penalties de grands tournois internationaux sur quinze ans a montré que la forte pression était associée à une probabilité plus grande de tirer complètement hors du cadre.
Autrement dit, la matrice de probabilités elle-même peut changer selon le contexte : fatigue, niveau du joueur, importance du tir ou pression psychologique. Une stratégie optimale n’est donc jamais indépendante des données utilisées pour construire le modèle.
Notre modèle n’utilise que deux directions. Pourtant, rester au centre peut aussi être une stratégie du gardien, et tirer au centre peut exploiter un gardien qui plonge presque systématiquement. On obtiendrait alors une matrice \(3\times3\) avec gauche, centre et droite.
Le principe resterait le même : chercher des probabilités de choix qui empêchent l’adversaire de profiter d’une préférence trop visible. Le calcul devient plus long, mais l’idée mathématique ne change pas : l’optimalité vient de l’équilibre entre plusieurs choix, pas forcément d’une action unique qui serait toujours meilleure.
Les mathématiques ne permettent évidemment pas de garantir un but. Elles permettent en revanche de transformer le penalty en problème de décision.
Dans notre modèle, l’égalité des gains conduit à \[ q\approx52{,}4\% \qquad\text{et}\qquad r\approx55{,}6\%. \] Ces valeurs construisent un équilibre où aucun joueur ne bénéficie du fait que l’autre devienne prévisible.
La conclusion est donc : \[ \boxed{\text{la meilleure stratégie peut consister à varier intelligemment ses choix}.} \] Au penalty, être optimal ne signifie pas toujours viser son meilleur côté : cela signifie aussi empêcher l’adversaire d’anticiper.
Un modèle plus réaliste devrait distinguer gauche, centre et droite, éventuellement la hauteur, la vitesse, la précision, le pied fort, les habitudes individuelles, le moment du plongeon et l’effet de la pression.
La théorie des jeux n’affirme pas non plus que chaque joueur professionnel calcule consciemment un équilibre de Nash : elle fournit un modèle dont les prédictions peuvent être comparées aux comportements observés.