Exposé rédigé — environ 10 minutes
Ce texte est une trame d’entraînement. Les horaires indiquent le rythme visé ; présenter avec ses mots et refaire les calculs sur le support.
00:00 – 01:10Une question de naturaliste
Comment savoir combien de poissons vivent dans un étang ? On ne peut pas facilement vider l’étang pour les compter un à un. Même avec une grande épuisette, on risque de capturer plusieurs fois les mêmes individus ou d’en manquer beaucoup. Les biologistes ont donc imaginé une méthode qui semble paradoxale : compter une population en n’en observant qu’une petite partie.
Je vais présenter une version très simplifiée de la méthode dite de capture-marquage-recapture. Elle utilise des proportions, les probabilités et un raisonnement d’estimation. C’est aussi l’occasion de découvrir comment une idée mathématique peut aider à observer la nature sans prétendre tout savoir.
01:10 – 02:20Première pêche : préparer une information
Imaginons un étang contenant un nombre inconnu \(N\) de poissons. On capture d’abord 80 poissons, on les marque d’une manière adaptée au bien-être animal, puis on les relâche. Notons \(M=80\) ce nombre marqué. On attend que ces poissons se mélangent aux autres.
À ce stade, nous savons seulement qu’il y a au moins 80 poissons dans l’étang. Nous ignorons la proportion que représentent ces 80 individus dans la population totale. C’est précisément cette proportion que notre deuxième pêche va essayer d’approcher.
02:20 – 03:35Deuxième pêche : l’échantillon nous renseigne
Quelques jours plus tard, supposons que la population n’ait pratiquement pas changé et que tous les poissons aient une chance comparable d’être capturés. Nous attrapons 40 poissons, parmi lesquels 8 portent notre marque.
Dans ce second échantillon, la proportion de poissons marqués est donc \(8/40=0{,}20\), soit 20 %. Si l’échantillon représente assez correctement l’étang, il est raisonnable de penser que les 80 poissons marqués constituent environ 20 % du total. Nous écrivons alors \(80/N\approx8/40\).
03:35 – 04:45Une estimation en une seule formule
Pour retrouver le nombre total inconnu, il suffit de résoudre cette proportion. Si \(80/N\approx8/40\), alors \(N\approx80\times40/8=400\). Notre estimation est donc d’environ 400 poissons.
Ce raisonnement repose sur une règle de trois que chacun connaît. Mais ici, il a une signification probabiliste : la fréquence des marques observées dans un échantillon est utilisée pour estimer leur fréquence dans toute la population. Il ne s’agit pas d’une égalité certaine ; le signe « environ » est essentiel.
04:45 – 06:00Comprendre pourquoi l’estimation varie
Supposons qu’à la deuxième pêche nous trouvions dix poissons marqués au lieu de huit, toujours parmi quarante. L’estimation deviendrait \(80\times40/10=320\) poissons. Si nous ne trouvions que cinq marqués, elle passerait à \(80\times40/5=640\) poissons. Nous avons pourtant observé le même étang !
Cette variation n’indique pas que les mathématiques sont mauvaises. Elle nous rappelle qu’un échantillon est aléatoire. Quand la deuxième pêche contient peu de poissons marqués, l’estimation est particulièrement instable. Et si aucun poisson marqué ne ressort, on ne peut tout simplement pas utiliser la formule, car il faudrait diviser par zéro.
06:00 – 07:10Justifier le modèle avec des probabilités
Si nous imaginons pour un instant que l’étang contient exactement \(N\) poissons dont 80 marqués, un poisson choisi au hasard est marqué avec une probabilité \(p=80/N\). Dans un échantillon représentatif de quarante poissons, la fréquence observée \(m/40\) sert à approcher cette probabilité.
Plus précisément, si les quarante poissons sont tirés au hasard sans remise, le nombre moyen de marqués dans l’échantillon vaut \(40\times80/N\). Pour \(N=400\), on attend donc en moyenne huit poissons marqués. Retrouver huit ne prouve pas qu’il y en a quatre cents : d’autres tailles de population pourraient aussi produire cette observation.
07:10 – 08:20De belles maths, mais des hypothèses fortes
Pour que cette méthode ait du sens, plusieurs conditions doivent être proches de la réalité. Les poissons marqués doivent survivre et conserver leur marque. Ils doivent pouvoir se mélanger aux autres, et la capture ne doit pas viser plus facilement les poissons marqués que les autres. Enfin, il ne faut pas que l’étang se vide ou se remplisse massivement entre les deux pêches.
Dans la nature, ces hypothèses peuvent être imparfaites. Certains poissons se cachent plus que d’autres, des individus naissent ou meurent, et une marque peut influencer le comportement. Les écologues utilisent alors des méthodes plus élaborées et répètent les observations.
Une manière de vérifier l’importance du résultat consiste à imaginer trois étangs différents. S’il y avait 200 poissons dont 80 marqués, on s’attendrait en moyenne à retrouver seize marques sur quarante. S’il y avait 400 poissons, on en attendrait huit. Avec 800 poissons, on n’en attendrait plus que quatre. Ainsi, retrouver huit poissons marqués oriente vers une taille autour de 400, sans exclure toutes les autres possibilités. Cette nuance est essentielle : une estimation peut être plausible sans être certaine. Dans le monde réel, le marquage des animaux doit évidemment être confié à des professionnels et encadré pour respecter leur bien-être.
08:20 – 09:20Expérimenter sans toucher à un vrai poisson
Nous pouvons reproduire l’idée en classe avec des jetons : 400 jetons représentent les poissons, 80 d’entre eux sont colorés. Nous tirons quarante jetons au hasard, sans remise, puis nous regardons combien sont colorés. Selon les essais, nous obtenons par exemple six, huit, neuf ou onze marques. Chaque expérience conduit à une estimation différente.
Une simulation informatique permet de répéter cette expérience et de comparer les estimations. Son objectif n’est pas de remplacer les observations écologiques, mais de montrer la part d’incertitude qui accompagne nécessairement un résultat.
09:20 – 10:00Conclusion : compter sans tout voir
Grâce à deux captures, dont l’une marque 80 poissons et l’autre en trouve 8 marqués sur 40, nous estimons une population d’environ 400 poissons. Le calcul est simple, mais son interprétation est subtile.
Les mathématiques nous permettent ainsi d’obtenir de l’information sur ce que nous ne voyons pas directement. La condition est d’annoncer clairement les hypothèses et de ne jamais confondre une estimation avec une certitude.
Les calculs à savoir refaire au tableau
On note \(N\) l’effectif inconnu, \(M\) le nombre initialement marqué, \(n\) la deuxième capture et \(m\) les poissons marqués retrouvés.
\[\frac{m}{n}\approx\frac{M}{N}.\]
\[\boxed{\widehat N=\frac{M\times n}{m}}\qquad(m>0).\]
\[M=80,\ n=40,\ m=8\quad\Longrightarrow\quad\widehat N=\frac{80\times40}{8}=400.\]
\[P(\text{marqué})=\frac{M}{N}\quad\text{et}\quad E(m)=n\frac MN.\]
Attention : \(\widehat N\) n’est pas forcément égal à \(N\). Une formule d’estimation ne devient pas une preuve d’effectif exact.
15 questions du jury — avec réponses détaillées
Commencer par les cinq premières, puis s’entraîner à répondre sans lire.
1. Quel est le but du problème ?
Estimer le nombre total de poissons \(N\) d’un étang sans avoir à tous les capturer.
2. Que représente \(M\) ?
Le nombre de poissons marqués et relâchés lors de la première capture. Ici, \(M=80\).
3. Que représente \(n\) ?
L’effectif du second échantillon capturé. Ici, \(n=40\) poissons.
4. Et \(m\) ?
Le nombre de poissons marqués retrouvés dans la deuxième capture. Ici, \(m=8\).
5. Quelle proportion de l’échantillon est marquée ?
\(m/n=8/40=0{,}20\), soit 20 %.
6. Pourquoi utilise-t-on une proportion ?
Dans un échantillon représentatif, la proportion de marques permet d’approcher la proportion de poissons marqués dans toute la population.
7. Quelle relation pose-t-on ?
\(m/n\approx M/N\), c’est-à-dire proportion observée approximativement égale à proportion réelle.
8. Comment trouve-t-on 400 poissons ?
En isolant \(N\) : \(N\approx M n/m=80\times40/8=400\).
9. Pourquoi utilise-t-on le signe « environ » ?
Parce que la proportion observée peut varier d’une capture à l’autre. Il ne s’agit pas d’une identité mais d’une estimation statistique.
10. Que se passe-t-il si on retrouve dix poissons marqués ?
L’estimation devient \(80\times40/10=320\) poissons, toujours avec les mêmes première et deuxième tailles de capture.
11. Pourquoi faut-il mélanger les poissons ?
Pour que les individus marqués aient, autant que possible, la même chance d’être capturés que les autres. Sinon, la deuxième capture n’est pas représentative.
12. Peut-on appliquer la formule si \(m=0\) ?
Non. On devrait diviser par zéro. Il faut alors modifier le protocole ou utiliser une méthode statistique adaptée, et non inventer un effectif.
13. Qu’est-ce qu’une population fermée ?
Une population supposée stable entre les deux captures : pas d’entrées ou sorties importantes, ni de naissances ou décès qui changeraient sensiblement l’effectif.
14. Quelle est la probabilité de tirer un poisson marqué si \(N=400\) ?
\(80/400=0{,}20\), sous un choix uniforme d’un individu.
15. Pourquoi cette méthode intéresse-t-elle les écologues ?
Parce qu’elle permet d’estimer des populations difficiles à compter directement, en limitant l’observation à des échantillons.
