Une question concrète et accessible
Comment créer le plus grand potager possible avec 40 mètres de clôture ?
Aires et périmètresFonction du second degréDérivationMaximumModélisation
On suppose un mur droit et suffisamment long, un terrain plat, une clôture sans épaisseur et exactement trois côtés à clôturer. Les portes, allées et contraintes du terrain sont ignorées.
Le raisonnement est guidé sans appauvrir les mathématiques : l'essentiel est de comprendre les hypothèses et de savoir refaire les calculs.
Exposé rédigé — environ 10 minutes
Un script pour s'entraîner et non un texte à réciter : reconstruire les explications avec ses mots et marquer des pauses au moment des formules.
00:00 – 01:05Un vrai problème de jardinier
Imaginons que je dispose de quarante mètres de grillage pour créer un potager rectangulaire. Je voudrais disposer d'un maximum de surface cultivable. Première idée : fabriquer un grand carré. Mais je peux profiter d'un mur existant pour fermer le quatrième côté sans grillage. La question devient : quelles dimensions choisir ? Un rectangle très long sera étroit ; un rectangle très profond aura peu de longueur. Il doit donc exister un compromis. Je vais utiliser la géométrie, puis une fonction et sa dérivée pour trouver ce compromis. Je montrerai aussi comment vérifier le résultat par un calcul sans dérivée et pourquoi la réponse dépend fortement des contraintes du terrain.
01:05 – 02:12Traduire la situation par un schéma
Je dessine le mur horizontalement. J'appelle \(x\) la profondeur du potager, perpendiculaire au mur, et \(y\) sa longueur le long du mur. La clôture sert à fermer les deux côtés de profondeur \(x\) et le côté opposé au mur, de longueur \(y\). La longueur totale utilisée s'écrit donc \(2x+y=40\). C'est la contrainte principale. On en déduit immédiatement \(y=40-2x\). Il suffit alors de choisir \(x\), car \(y\) est imposée. Avant de calculer, je précise que les dimensions doivent être positives : la profondeur \(x\) doit être entre zéro et vingt mètres, sans inclure les extrémités.
02:12 – 03:16Exprimer l’aire en fonction d’une seule variable
L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. J'obtiens donc \[A(x)=x(40-2x)=40x-2x^2.\] Cette formule est déjà tout le problème. Si je choisis une profondeur de cinq mètres, il reste trente mètres pour la longueur, ce qui donne cent cinquante mètres carrés. Si je choisis dix mètres, il reste vingt mètres, pour une aire de deux cents mètres carrés. Si je choisis quinze mètres, la longueur retombe à dix mètres, et l'aire vaut de nouveau cent cinquante mètres carrés. Cela suggère que le meilleur choix est près de dix mètres, mais trois essais ne suffisent pas à prouver un maximum.
03:16 – 04:23La dérivée donne la réponse
Pour trouver le maximum de la fonction \(A\), je la dérive. On obtient \[A'(x)=40-4x.\] Cette expression est positive lorsque \(x\) est inférieur à dix, nulle lorsque \(x\) vaut dix, puis négative lorsque \(x\) dépasse dix. Ainsi, l'aire augmente de zéro à dix mètres de profondeur, puis diminue de dix à vingt mètres. Le tableau de variations possède donc un sommet à \(x=10\). La longueur correspondante vaut \(y=40-2\times10=20\) mètres. Le potager optimal mesure dix mètres de profondeur et vingt mètres le long du mur, pour une aire maximale de deux cents mètres carrés.
04:23 – 05:32Une preuve sans dérivée
Pour être certain de ce résultat, je peux aussi transformer l'expression de l'aire en complétant le carré : \[A(x)=200-2(x-10)^2.\] Un carré est toujours positif, donc le terme que je soustrais est toujours positif ou nul. Par conséquent, \(A(x)\) ne peut jamais dépasser deux cents. L'égalité n'a lieu que si \(x-10=0\), c'est-à-dire si \(x=10\). Cette deuxième preuve est très intéressante pour un élève à l'oral : elle lui permet de justifier le résultat même s'il hésite sur le tableau de variations. Elle montre que deux méthodes différentes peuvent conduire à une même conclusion rigoureuse.
05:32 – 06:35Et si je n’avais aucun mur ?
Regardons maintenant ce qui change si je dois clôturer quatre côtés du rectangle. La contrainte devient \(2x+2y=40\), donc \(x+y=20\). L'aire vaut alors \(x(20-x)\), qui est maximale pour \(x=y=10\). Le meilleur rectangle sans mur est donc un carré de dix mètres de côté, d'aire cent mètres carrés. Grâce au mur, le même grillage permet deux cents mètres carrés, soit le double ! Ce n'est pas une propriété générale de tous les jardins, mais une conséquence de nos contraintes : avec un côté offert par le mur, on économise une longueur importante de clôture.
06:35 – 07:38Voir les choix dans un graphique
Le graphique de \(A(x)=40x-2x^2\) est une parabole tournée vers le bas. Pour une petite profondeur, la surface reste modeste parce que la parcelle est étroite. En augmentant \(x\), la surface grandit jusqu'au sommet. Puis elle décroît, car chaque mètre de profondeur supplémentaire consomme deux mètres de grillage sur les côtés, et réduit d'autant la longueur restante. Dans l'atelier, on peut déplacer un curseur pour choisir la profondeur. Le graphique et le dessin du rectangle se modifient en même temps, ce qui rend le raisonnement visible sans remplacer la démonstration. Les élèves peuvent comparer leurs conjectures au résultat mathématique.
07:38 – 08:48Pourquoi le jardin réel peut être différent
Un jardinier doit évidemment se poser d'autres questions que celle de l'aire : le sol reçoit-il assez de lumière ? Le mur fait-il de l'ombre ? A-t-on besoin d'allées pour accéder aux cultures ? Une largeur de vingt mètres le long du mur est-elle disponible ? Existe-t-il des arbres à contourner ? Le modèle suppose que tout cela n'a pas d'effet. Si le mur ne mesure que douze mètres, notre solution idéale n'est plus réalisable et le maximum change. Cela ne veut pas dire que les mathématiques sont inutiles : elles donnent un premier optimum et obligent ensuite à identifier les nouvelles contraintes. Un bon modèle est un outil qu'on améliore.
08:48 – 10:00Ce que signifie vraiment optimiser
J'ai cherché à rendre maximale une quantité mesurable : l'aire cultivable. La méthode a consisté à traduire le problème par une équation de contrainte, éliminer une variable, écrire une fonction d'une seule variable puis étudier son maximum. Pour quarante mètres de grillage contre un mur rectiligne assez long, le résultat est un rectangle de dix mètres sur vingt, d'aire deux cents mètres carrés. Une preuve par dérivation et une preuve par carré complété confirment la réponse. Ce raisonnement s'applique ailleurs : fabriquer un enclos, découper un matériau, choisir les dimensions d'un emballage. Et il illustre une idée fondamentale des mathématiques : le meilleur choix dépend toujours de ce que l'on cherche à optimiser et des contraintes retenues.
