Problématique et mathématiques mobilisées
Quel point de la plage minimise le temps nécessaire pour rejoindre une personne en mer, lorsque l’on court plus vite que l’on nage ?
DérivationÉtude de fonctionTrigonométrieMinimumVitesse et distance
Scénario scolaire fictif : les vitesses sont constantes, la mer est calme et la sécurité du sauvetage n’est pas modélisée. Ce résultat n’est pas une consigne de sauvetage réel.
Exposé complet — environ 10 minutes
Cette trame est écrite pour être comprise et reformulée à l’oral. Les formules importantes peuvent être affichées sur le support pendant la présentation.
00:00–01:05Introduction — courir ou nager ?
Imaginez un sauveteur sur une plage. Il aperçoit une personne en difficulté, à plusieurs dizaines de mètres au large. Son premier réflexe pourrait être de se diriger en ligne droite vers elle : en géométrie, c’est le plus court chemin entre deux points. Mais une information change le problème : courir sur le sable est beaucoup plus rapide que nager. Le sauveteur pourrait courir un peu plus loin pour réduire la distance dans l’eau. Sa trajectoire serait alors plus longue, mais peut-être plus rapide. Je voudrais montrer qu’un choix de trajet apparemment contre-intuitif se transforme en problème de minimum d’une fonction, accessible avec les outils de Terminale.
01:05–02:10Construire la situation géométrique
Je représente la limite entre plage et mer par un axe horizontal. Le sauveteur part de \(S(0;0)\). La victime est en \(V(120;80)\), en mètres : sa projection sur la plage se trouve à 120 mètres du sauveteur et elle est à 80 mètres du rivage. Le sauveteur court à \(6\) mètres par seconde et nage à \(2\) mètres par seconde. Toutes ces données sont fictives. Il choisit un point \(E(x;0)\) où entrer dans l’eau, avec \(0\leq x\leq120\). Il court de \(S\) à \(E\), puis nage en ligne droite de \(E\) à \(V\). Une seule variable, \(x\), suffit donc à décrire tous les trajets envisagés.
02:10–03:15Exprimer le temps total avec Pythagore
Le temps d’un trajet est égal à sa longueur divisée par la vitesse. Sur la plage, la distance parcourue vaut \(SE=x\), donc le temps de course est \(x/6\). Pour la nage, le triangle qui joint \(E\), la projection de \(V\) sur la plage et \(V\) est rectangle. Ses côtés mesurent \(120-x\) et \(80\). Pythagore donne \(EV=\sqrt{(120-x)^2+80^2}\). Comme le sauveteur nage à 2 mètres par seconde, la fonction à minimiser est : \[\boxed{T(x)=\frac{x}{6}+\frac{\sqrt{(120-x)^2+6400}}{2}}.\] Le temps est exprimé en secondes et \(x\) en mètres.
03:15–04:25Dériver plutôt que chercher au hasard
Une simulation permettrait de tester plusieurs valeurs de \(x\), mais la dérivation donne une réponse exacte. Sur \([0;120]\), on obtient : \[T'(x)=\frac16-\frac{120-x}{2\sqrt{(120-x)^2+6400}}.\] Quand \(x=0\), cette dérivée est négative ; quand \(x=120\), elle est positive. Elle doit donc s’annuler entre les deux. L’équation \(T'(x)=0\) revient à écrire : \[\frac{120-x}{\sqrt{(120-x)^2+6400}}=\frac13.\] En posant \(d=120-x\geq0\) puis en élevant au carré, on trouve \(9d^2=d^2+6400\), donc \(d=20\sqrt2\). Ainsi le point optimal est \(\boxed{x_*=120-20\sqrt2\approx91{,}72}\).
04:25–05:30Prouver qu’il s’agit du minimum
Résoudre une équation de dérivée ne suffit pas : il faut prouver que l’on a bien trouvé un minimum. Une seconde dérivation est ici particulièrement élégante : \[T''(x)=\frac{3200}{\big((120-x)^2+6400\big)^{3/2}}>0.\] La dérivée \(T'\) est donc strictement croissante sur tout l’intervalle. Elle passe une seule fois de négative à positive, exactement pour \(x=x_*\). Le tableau de variations montrerait que \(T\) décroît, atteint son minimum, puis croît. Le sauveteur doit donc parcourir environ 91,72 mètres de plage avant de se jeter à l’eau. Il lui reste environ 28,28 mètres de déplacement horizontal et 80 mètres en direction du large.
05:30–06:35Comparer les trois stratégies
Le résultat se mesure concrètement. Si le sauveteur nage directement depuis son point de départ, il doit franchir \(\sqrt{120^2+80^2}\) mètres et met environ 72,11 secondes. S’il court jusqu’au point de la plage situé exactement devant la victime, soit \(x=120\), il met \(120/6+80/2=60\) secondes. En entrant dans l’eau à notre point optimal, le calcul donne \(T(x_*)\approx\mathbf{57{,}71}\) secondes. Le détour sur le sable fait donc gagner environ 14,40 secondes par rapport à la nage directe. Ces chiffres montrent ce que change la question : optimiser la distance n’est pas optimiser le temps.
06:35–07:35Le lien inattendu avec la lumière
Sur le dessin, je trace la normale au rivage au point \(E\). Le trajet de course suit le rivage, donc son angle avec cette normale est de 90 degrés. Dans l’eau, notons \(\theta\) l’angle de la trajectoire avec la même normale. Alors \(\sin\theta=(120-x)/EV\). Au minimum, l’équation de la dérivée donne \(\sin\theta=1/3=v_{\rm nage}/v_{\rm course}\). Cette relation ressemble à celle du principe de Fermat : quand la lumière traverse deux milieux où elle ne se déplace pas à la même vitesse, elle suit une trajectoire qui rend le temps de trajet stationnaire. La ressemblance mathématique ne signifie pas que sauveteur et lumière obéissent aux mêmes lois physiques.
07:35–08:40Changer les vitesses pour changer la réponse
Le laboratoire interactif permet de faire varier les vitesses. Plus la course est rapide par rapport à la nage, plus il est intéressant de progresser le long de la plage. En gardant nos distances de 120 et 80 mètres, si \(v_c>v_n\), un éventuel point intérieur satisfait \[\frac{120-x}{\sqrt{(120-x)^2+80^2}}=\frac{v_n}{v_c}.\] Si l’on nage aussi vite, ou plus vite, que l’on court, il n’y a plus de raison de rallonger le trajet terrestre : dans le modèle, le meilleur choix est \(x=0\). De même, pour certaines vitesses très proches, l’optimum peut être atteint en bord d’intervalle. Il faut donc vérifier les contraintes avant d’annoncer une formule universelle.
08:40–10:00Conclusion — définir ce qu’on optimise
Le problème semblait relever du simple bon sens : on veut aller le plus vite possible, donc on prend la ligne droite. Mais la géométrie seule ne suffit pas quand les vitesses changent. En construisant la fonction temps, en dérivant puis en étudiant le signe de la dérivée, nous avons trouvé une décision précise et vérifiable. C’est une leçon plus générale : en mathématiques appliquées, le meilleur choix dépend toujours de ce que l’on cherche à optimiser, des paramètres retenus et des contraintes. Notre modèle ignore les vagues, les courants, l’état physique du sauveteur et les gestes de sécurité. Il permet de comprendre le raisonnement, pas de prescrire une opération réelle. Le trajet le plus court et le trajet le plus rapide ne sont pas nécessairement les mêmes.
Support visuel à reconstruire en 20 minutes
Sur une feuille, reprends seulement les éléments indispensables du graphique ci-dessous : axes ou schéma, paramètres, résultat principal et interprétation. La lisibilité compte davantage que les décorations.
Illustration construite avec les valeurs exactes du modèle présenté dans l’exposé. Les calculs sont rappelés dans le texte ; le graphique sert à les expliquer au jury.