Vendre plus de billets que de sièges paraît risqué. Pourtant, une loi binomiale et un calcul d’espérance permettent de chercher le nombre de réservations qui maximise le gain moyen.
La situation est immédiatement compréhensible et conduit à des mathématiques très nettes : loi binomiale, événement contraire, espérance d’une variable aléatoire puis comparaison d’une fonction de gain. Le candidat peut montrer à la fois un calcul et une vraie décision sous incertitude.
Lorsqu’une compagnie aérienne possède un avion de 100 places, il peut sembler absurde de vendre plus de 100 billets. Pourtant, certaines personnes ne se présentent pas à l’embarquement : changement de programme, correspondance manquée, annulation tardive ou simple absence. Si la compagnie vend exactement 100 billets et que cinq voyageurs ne viennent pas, l’avion part avec cinq sièges vides.
La surréservation consiste donc à accepter volontairement davantage de réservations que de places disponibles. Mais cette stratégie crée un risque : si trop de passagers se présentent, certains devront renoncer au vol ou être réacheminés.
Ma problématique est : comment les compagnies aériennes peuvent-elles utiliser les probabilités pour rendre la surréservation rentable sans prendre un risque excessif ?
Je considère un avion de 100 places. Pour construire un exemple simple, je suppose que chaque passager se présente avec une probabilité \[ p=0{,}95 \] et que les comportements sont indépendants.
Si la compagnie vend \(100+k\) billets et si \(X\) désigne le nombre de passagers présents, alors \[ \boxed{X\sim\mathcal B(100+k,0{,}95)}. \] La loi binomiale est adaptée parce que l’on répète \(100+k\) expériences de Bernoulli : chaque client se présente ou ne se présente pas.
Son espérance vaut \[ E(X)=(100+k)\times0{,}95. \] Par exemple, avec 104 billets vendus, \[ E(X)=104\times0{,}95=98{,}8. \] En moyenne, moins de 100 personnes se présentent. Cela explique pourquoi vendre quelques billets supplémentaires peut sembler raisonnable.
Avec 104 billets vendus, la compagnie doit refuser au moins un voyageur si plus de 100 personnes se présentent. On cherche donc \[ P(X>100). \] Il est plus simple d’utiliser l’événement contraire : \[ P(X>100)=1-P(X\le100). \] Avec \[ X\sim\mathcal B(104,0{,}95), \] on obtient numériquement \[ \boxed{P(X>100)\approx0{,}231}. \]
Il y a donc environ 23 % de risque d’avoir au moins un voyageur en trop dans ce modèle. Ce nombre peut sembler élevé. Pourtant, cela ne signifie pas que la stratégie est mauvaise : pour décider, il faut comparer ce risque au gain apporté par les billets supplémentaires.
C’est ici qu’apparaît une distinction importante : minimiser le risque et maximiser le gain moyen sont deux objectifs différents.
La probabilité \(P(X>100)\) ne suffit pas. Si 101 passagers se présentent, un seul est en trop ; s’ils sont 104, quatre sont en trop. Le coût n’est donc pas le même.
Je définis alors une nouvelle variable : \[ Y=\max(X-100,0). \] Elle représente le nombre de passagers qui dépassent la capacité de l’avion.
Son espérance est \[ E(Y) = \sum_{x=101}^{100+k}(x-100)P(X=x). \] Pour 104 billets vendus, le calcul donne environ \[ \boxed{E(Y)\approx0{,}370}. \]
Ce résultat ne signifie évidemment pas que l’on refuse 0,37 personne sur un vol particulier. Il signifie que, sur un grand nombre de vols comparables, le nombre moyen de passagers excédentaires serait d’environ 0,37 par vol.
Cette espérance permet donc de transformer un risque aléatoire en coût moyen.
Je prends maintenant un modèle économique volontairement simplifié. Chaque billet vendu rapporte 150 euros, et j’attribue un coût moyen de 400 euros à chaque passager excédentaire. Ces deux valeurs sont uniquement pédagogiques : elles ne représentent ni un tarif universel ni le coût réel complet d’un refus d’embarquement.
Si \(k\) billets supplémentaires sont vendus, la recette est \[ 150(100+k). \] Le coût moyen lié aux passagers excédentaires est \[ 400E(Y). \] Je définis donc \[ \boxed{G(k)=150(100+k)-400E(Y)}. \]
Pour \(k=4\), \[ G(4) = 150\times104-400\times0{,}3696 \approx15452\text{ euros}. \] À titre de comparaison, sans surréservation, \[ G(0)=15000\text{ euros}. \]
Dans ce modèle, accepter un risque de surréservation peut donc augmenter le gain moyen.
On peut répéter le calcul pour plusieurs valeurs de \(k\). On obtient approximativement :
\[ \begin{array}{c|ccccccc} k&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline G(k)&15000&15148&15284&15392&15452&15450&15383 \end{array} \]
Le gain moyen augmente d’abord parce que les billets supplémentaires rapportent davantage que le coût moyen des refus. Mais à partir d’un certain point, le risque et surtout le nombre moyen de passagers excédentaires augmentent trop vite.
Dans notre modèle, le maximum est atteint pour \[ \boxed{k=4}. \] La compagnie aurait donc intérêt à vendre 104 billets pour 100 sièges.
Ce résultat est particulièrement intéressant : pour \(k=4\), la probabilité d’avoir au moins un passager en trop est d’environ 23 %, et pourtant cette stratégie maximise l’espérance de gain. L’optimum économique n’est donc pas le point où le risque devient nul.
On peut aussi raisonner en termes de gain marginal. Passer de \(k=3\) à \(k=4\) ajoute 150 euros de recette certaine dans notre modèle, mais augmente également le coût moyen des refus. Tant que l’augmentation moyenne de ce coût reste inférieure à 150 euros, vendre un billet de plus améliore l’espérance de gain. Entre \(k=4\) et \(k=5\), les deux effets deviennent presque équilibrés ; puis, au-delà, le coût supplémentaire devient dominant.
Cette lecture est intéressante car elle évite de chercher une formule compliquée pour dériver \(G\) : \(k\) est un entier, donc on peut simplement comparer les valeurs voisines. L’optimisation est ici discrète, ce qui correspond exactement au problème réel : on ne peut pas vendre 4,3 billets supplémentaires.
Le nombre optimal dépend directement du modèle. Si le coût moyen d’un passager refusé augmente, la surréservation devient plus dangereuse financièrement et l’optimum doit se déplacer vers un nombre plus faible de billets supplémentaires.
À l’inverse, si la probabilité de présence diminue, par exemple parce que les données historiques montrent davantage de « no-shows », la compagnie peut avoir intérêt à vendre davantage de billets.
Le prix du billet joue également : plus un billet supplémentaire rapporte, plus la surréservation peut devenir intéressante. Ainsi, le problème ne consiste pas seulement à calculer une probabilité ; il consiste à arbitrer entre plusieurs conséquences possibles.
Dans la réalité, les compagnies disposent de données beaucoup plus fines : type de vol, saison, jour de la semaine, correspondances, profils de réservation et historiques de présence. Notre loi binomiale est donc un modèle de lycée volontairement simplifié.
Les mathématiques permettent donc de comprendre la logique de la surréservation. La loi binomiale modélise le nombre de passagers présents, les probabilités mesurent le risque d’un dépassement de capacité et l’espérance permet d’évaluer son coût moyen.
On peut ensuite construire une fonction de gain \[ G(k) = \text{recette} - \text{coût moyen du dépassement} \] et chercher la valeur de \(k\) qui la maximise.
Dans notre exemple pédagogique, quatre billets supplémentaires donnent le meilleur gain moyen. Mais ce résultat dépend des paramètres choisis.
La leçon principale est donc plus générale : \[ \boxed{\text{maximiser une espérance ne signifie pas éliminer tout risque}.} \] Les probabilités ne permettent pas de prédire exactement ce qui arrivera sur un vol ; elles permettent de prendre une décision rationnelle sur un grand nombre de vols.
Dans l’Union européenne, les droits des passagers prévoient actuellement une compensation en cas de refus d’embarquement involontaire lié notamment à une surréservation, ainsi qu’un choix entre remboursement, réacheminement ou nouvelle réservation et une assistance. Les montants réglementaires dépendent notamment de la distance du vol.
La probabilité de présence n’est pas non plus constante dans la réalité : les compagnies utilisent des historiques et des modèles beaucoup plus détaillés que notre loi binomiale homogène.