Théorème du singe savant : comment les probabilités permettent-elles de rendre l’infini plus accessible ?

Introduction — un singe peut-il vraiment écrire Shakespeare ?

Le « théorème du singe savant », plus souvent appelé théorème du singe infini, part d’une expérience volontairement absurde : un singe tape au hasard sur un clavier pendant un temps infini. Peut-il finir par écrire un texte précis, par exemple une pièce de Shakespeare ? À l’échelle humaine, l’idée paraît impossible. Pourtant, le modèle probabiliste affirme qu’un texte fini fixé à l’avance apparaîtra presque sûrement si les frappes sont indépendantes et si l’expérience se poursuit indéfiniment.

Ce paradoxe apparent permet de donner un sens très concret à l’infini. Ma problématique est donc : comment le théorème du singe savant permet-il de rendre l’infini plus accessible grâce aux probabilités, et quel lien peut-on faire avec les nombres univers ?

1. Un événement extraordinairement improbable

Je suppose que le clavier possède \(k\) caractères et que chacun est choisi indépendamment avec la même probabilité. Je fixe un texte précis de longueur \(m\). Pour obtenir exactement ce texte dans un bloc de \(m\) frappes, il faut réussir successivement chacun des \(m\) caractères. La probabilité vaut donc \[ \boxed{p=\left(\frac1k\right)^m=\frac1{k^m}}. \]

Avec un alphabet de 26 lettres et la suite de douze lettres « MISSIONMATHS », \[ p=\frac1{26^{12}}\approx1{,}05\times10^{-17}. \] Cette probabilité est minuscule. Mais le point crucial est qu’elle n’est pas nulle. L’infini va alors changer la question : on ne demande plus si le texte est probable lors d’un essai, mais ce qui se passe lorsqu’on recommence encore et encore.

2. Répéter l’expérience

Pour garder une indépendance simple, je découpe la suite de frappes en blocs disjoints de longueur \(m\). Chaque bloc est un nouvel essai. La probabilité de ne pas obtenir le texte lors d’un essai vaut \[ 1-p. \] La probabilité de ne jamais l’obtenir pendant \(n\) essais indépendants vaut donc \[ (1-p)^n. \] Par conséquent, la probabilité de l’obtenir au moins une fois parmi les \(n\) essais est \[ \boxed{P_n=1-(1-p)^n}. \]

La formule donne déjà une image concrète de l’accumulation des chances. À mesure que le nombre d’essais augmente, la probabilité de n’avoir jamais réussi diminue. Pour comprendre ce que signifie une infinité d’essais, il suffit maintenant d’étudier une limite de suite.

Le fait de travailler par blocs disjoints est volontairement prudent. Dans une suite de lettres, un mot peut commencer à n’importe quelle position et deux occurrences peuvent se chevaucher. En ne regardant que les positions \(1,m+1,2m+1,\ldots\), je jette donc volontairement beaucoup de possibilités. Pourtant, même avec cette restriction, la probabilité d’obtenir le texte tend déjà vers 1. Le résultat complet est donc au moins aussi fort.

On peut même retenir une idée simple : plus le texte est long, plus \(p\) devient petit, mais tant que le texte reste fini, \(p\) reste strictement positif. C’est précisément ce contraste entre « fini mais gigantesque » et « infini » qui rend le théorème si frappant.

3. L’infini apparaît comme une limite

Comme \[ 0

C’est le cœur du théorème. Le texte était extraordinairement improbable lors d’un essai, mais avec une infinité d’essais indépendants son apparition devient un événement de probabilité 1, c’est-à-dire presque sûr.

Il faut être très précis : probabilité 1 ne signifie pas nécessité logique. Il existe des suites infinies où le texte n’apparaît jamais ; elles ont simplement une probabilité nulle dans le modèle considéré.

Cette nuance est importante pour comprendre l’infini. Pour \(n=10^6\), \(10^{20}\) ou même \(10^{100}\), le nombre d’essais reste fini et la probabilité d’échec reste positive. Aucun nombre fini, aussi gigantesque soit-il, ne remplace donc le passage à la limite. C’est seulement lorsque l’on étudie le comportement de \(P_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) que l’on obtient 1.

Et l’infini ne rend pas possible ce qui est impossible. Si une touche nécessaire n’existait pas sur le clavier, la probabilité du texte serait \(p=0\). On aurait alors \(P_n=0\) pour tout \(n\). L’infini amplifie ici un événement de probabilité positive ; il ne transforme pas une probabilité nulle en probabilité positive.

4. Presque sûr ne veut pas dire rapide

Je peux mesurer à quel point l’événement reste difficile à observer. Pour atteindre 99 % de probabilité d’avoir obtenu « MISSIONMATHS », il faut \[ 1-(1-p)^n\geq0{,}99. \] Donc \[ (1-p)^n\leq0{,}01. \] En prenant le logarithme, \[ n\ln(1-p)\leq\ln(0{,}01). \] Comme \(\ln(1-p)<0\), on obtient \[ n\geq\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(1-p)}. \]

Numériquement, cela représente environ \[ \boxed{4{,}39\times10^{17}} \] blocs de douze lettres. À raison de dix frappes par seconde, cela correspondrait à environ \[ 1{,}67\times10^{10} \] années. Ce calcul est seulement illustratif, mais il montre une distinction essentielle : presque certain à l’infini ne signifie absolument pas accessible à notre échelle.

Ce calcul met aussi en évidence le rôle de la longueur du texte. Si on double \(m\), la probabilité n’est pas simplement divisée par deux : elle est multipliée par un nouveau facteur \(1/26^m\). Pour un alphabet de taille \(k\), le nombre \(k^m\) grandit exponentiellement avec la longueur \(m\). Quelques caractères supplémentaires peuvent donc faire exploser le nombre d’essais nécessaires.

C’est une excellente illustration de la différence entre une affirmation asymptotique et une affirmation pratique. Le théorème répond à la question « que se passe-t-il si l’on peut continuer sans fin ? », pas à la question « combien de temps faudrait-il réellement attendre ? ».

5. Du singe savant aux nombres univers

Remplaçons maintenant le clavier par les dix chiffres de 0 à 9. Une suite infinie de chiffres joue alors le rôle d’un texte infini. En français, on appelle nombre univers un réel dont le développement, dans une base donnée, contient toute suite finie de chiffres comme bloc consécutif.

Si un nombre est univers en base 10, on peut donc trouver quelque part dans ses décimales \[ 314159, \] mais aussi n’importe quelle suite finie de mille chiffres choisie à l’avance. Si un texte, une image ou un fichier fini est codé par des chiffres, ce codage apparaît également quelque part.

Attention : une infinité de décimales ne suffit pas. Le nombre \[ 0{,}101010101010\ldots \] possède une écriture infinie mais ne contient même pas le chiffre 2. Il n’est donc pas univers.

Un exemple célèbre est la constante de Champernowne : \[ C=0{,}12345678910111213141516\ldots \] obtenue en concaténant les entiers positifs. Champernowne a démontré en 1933 une propriété plus forte : ce nombre est normal en base 10. Il est donc univers en base 10.

Le parallèle avec le singe est alors direct. Si je produis les décimales au hasard, chacune indépendamment et uniformément parmi les dix chiffres, un bloc fixé de longueur \(r\) a une probabilité \[ \frac1{10^r} \] d’apparaître dans un bloc donné. Le même raisonnement probabiliste que pour le clavier montre qu’un motif fixé apparaît presque sûrement si l’on poursuit indéfiniment.

Mais la constante de Champernowne est intéressante pour une raison différente : elle n’est pas fabriquée au hasard. Elle est entièrement déterministe. Elle montre donc que la présence de tous les motifs n’est pas réservée aux suites aléatoires ; on peut construire explicitement des nombres possédant cette richesse.

6. Nombre univers et nombre normal

Un nombre univers demande seulement que chaque motif fini apparaisse au moins une fois. Un nombre normal impose beaucoup plus : tous les blocs de même longueur doivent apparaître avec les fréquences attendues.

En base 10, dans un nombre normal, chacun des dix chiffres apparaît avec une fréquence qui tend vers \[ \frac1{10}. \] Chaque bloc de deux chiffres apparaît avec fréquence \[ \frac1{100}, \] et, plus généralement, chaque bloc de longueur \(r\) avec fréquence \[ \boxed{\frac1{10^r}}. \] Ainsi, \[ \boxed{\text{normal}\Longrightarrow\text{univers}}, \] mais la réciproque est fausse.

On peut aussi comprendre pourquoi un rationnel ne peut pas être univers. Son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang. À partir de là, il ne fait que répéter un motif fixe. Pour des blocs suffisamment longs, le nombre de séquences différentes effectivement présentes reste donc très limité, alors qu’il existe \(10^r\) blocs possibles de longueur \(r\). Il est impossible de tous les contenir.

La normalité va beaucoup plus loin que l’universalité : elle ne dit pas seulement « tout est présent », elle dit aussi que les motifs sont répartis avec les bonnes fréquences. C’est pour cela qu’elle ressemble davantage à ce que l’on attendrait d’une suite de chiffres tirés au hasard.

Un résultat de Borel ajoute encore au vertige : au sens de la mesure, presque tous les nombres réels sont normaux. Pourtant, pour une constante célèbre comme \(\pi\), on ne sait toujours pas démontrer la normalité. On ne sait pas non plus démontrer que son développement décimal est univers.

Conclusion — l’infini n’est pas simplement « très grand »

Le théorème du singe savant rend donc l’infini concret grâce à une limite. Un événement de probabilité positive, même extraordinairement faible, peut devenir presque sûr lorsqu’on répète indépendamment l’expérience une infinité de fois.

Les nombres univers donnent une autre image du même vertige : une seule suite infinie peut être assez riche pour contenir tous les motifs finis imaginables. Mais l’infini ne garantit pas à lui seul cette richesse, comme le montre \(0{,}101010\ldots\).

Le bon message n’est donc pas « avec l’infini, tout arrive ». Il est plus précis : dans certains modèles probabilistes, répéter indéfiniment un événement de probabilité strictement positive fait tendre vers 1 la probabilité de le voir apparaître. Ici, l’infini n’est pas un nombre immensément grand : c’est un passage à la limite.