Pourquoi rouler à 30 puis à 90 km/h ne donne-t-il pas toujours 60 km/h de moyenne ?

Une réponse spontanée… et fausse

Imaginez une balade à vélo sur une longue piste. On parcourt les quinze premiers kilomètres à 30 kilomètres par heure, puis les quinze kilomètres suivants à 90 kilomètres par heure, dans un exemple purement théorique. Si je demande la vitesse moyenne, beaucoup répondent spontanément : entre 30 et 90, le milieu est 60.

Pourtant, la bonne réponse est 45 kilomètres par heure. Cette erreur vient d’une idée familière : on croit que « faire la moyenne » consiste toujours à additionner deux nombres et à diviser par deux. Je vais montrer que la question de la moyenne dépend de ce qui est réellement partagé en deux : la distance ou le temps.

Commencer par une définition plutôt que par un réflexe

La vitesse moyenne d’un trajet est une grandeur physique très simple : la distance totale parcourue divisée par la durée totale. J’écris \(v=\frac{D}{T}\). Cette définition ne dit pas d’additionner les vitesses ; elle dit de revenir au trajet dans son ensemble.

Notre parcours mesure trente kilomètres. Pour la première moitié, quinze kilomètres à 30 km/h demandent une demi-heure, soit trente minutes. Pour la seconde moitié, quinze kilomètres à 90 km/h demandent un sixième d’heure, soit dix minutes. Nous mettons donc quarante minutes pour parcourir trente kilomètres.

Obtenir le résultat sans ambiguïté

Quarante minutes représentent \(2/3\) d’heure. Nous avons donc une distance de 30 kilomètres et une durée de \(2/3\) d’heure. Par la définition, \(v=30\div(2/3)=45\) kilomètres par heure.

La partie lente a duré trois fois plus longtemps que la partie rapide. Elle pèse donc davantage dans le temps total du trajet. C’est précisément pourquoi la moyenne de 60 km/h ne peut pas convenir : elle donnerait un temps de trente minutes, alors que nous avons réellement passé quarante minutes sur le parcours.

Généraliser à deux vitesses quelconques

Prenons deux étapes de même distance \(d\), parcourues à des vitesses positives \(v_1\) et \(v_2\). La première dure \(d/v_1\) heures, la seconde \(d/v_2\) heures. La distance totale est \(2d\). D’après la définition, la vitesse moyenne vaut \(2d/(d/v_1+d/v_2)\).

Nous pouvons simplifier par \(d\), puis mettre au même dénominateur. Nous obtenons \(v_{\mathrm{moy}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\). On appelle ce nombre la moyenne harmonique de deux vitesses. Nous n’avons eu besoin que de fractions et d’un raisonnement sur la durée.

Comparer à la moyenne ordinaire

La moyenne arithmétique des deux vitesses serait \(A=(v_1+v_2)/2\). Peut-on prouver que cette moyenne est toujours plus grande que la vitesse moyenne sur deux distances égales ? Oui. En soustrayant la moyenne harmonique à la moyenne arithmétique, on obtient \(A-H=\frac{(v_1-v_2)^2}{2(v_1+v_2)}\).

Les vitesses sont positives, donc le dénominateur est positif. Un carré est toujours positif ou nul. On a donc \(H\leq A\), avec égalité seulement quand les vitesses sont identiques. C’est une belle manière de transformer notre exemple en un résultat mathématique général.

Et si les durées étaient égales ?

Changeons une seule condition : imaginons maintenant que nous roulions trente minutes à 30 km/h puis trente minutes à 90 km/h. Nous aurions parcouru quinze kilomètres pendant la première étape et quarante-cinq pendant la seconde. En une heure, cela ferait soixante kilomètres.

La vitesse moyenne serait donc exactement 60 km/h. Cette fois la moyenne arithmétique est correcte, parce que nous avons passé le même temps à chaque vitesse. Les deux situations utilisent les mêmes vitesses, mais elles ne décrivent pas le même trajet. Il faut écouter précisément l’énoncé avant de calculer.

Une autre manière de comprendre le rôle du temps

Revenons au parcours de trente kilomètres. Si je veux gagner du temps, il est beaucoup plus efficace d’améliorer la vitesse du tronçon le plus lent que de pousser toujours plus haut la vitesse déjà rapide. Passer de 30 à 40 km/h sur quinze kilomètres fait gagner sept minutes et demie. Passer de 90 à 100 km/h sur quinze kilomètres fait gagner seulement une minute.

Ces écarts se calculent avec la fonction temps \(t(v)=d/v\). Sa dérivée, pour \(v>0\), est \(t\prime(v)=-d/v^2\). La durée diminue quand la vitesse augmente, mais le gain marginal devient plus faible à grande vitesse. Voilà un véritable lien entre une expérience du quotidien et l’étude de fonctions.

À quoi cela sert-il ?

Ce principe aide à comprendre les itinéraires, les performances sportives et les mesures de rendement. Dans beaucoup de situations, une grandeur est un quotient : coût par objet, kilomètres par heure, litres consommés pour une distance. On ne peut pas moyenner de tels quotients sans regarder sur quelles quantités ils portent.

La vitesse moyenne calculée ici ne tient pas compte des pauses, accélérations ou ralentissements réels. Il s’agit d’un modèle par morceaux à vitesse constante. La méthode distance divisée par temps, elle, reste toujours valable pour un trajet dont on connaît la distance et la durée.

Pour bien comprendre le piège, on peut prendre un troisième exemple. Sur deux portions de dix kilomètres, parcourues à 20 et 80 km/h, la moyenne ordinaire des vitesses est 50 km/h. Mais la première portion prend une demi-heure, et la seconde seulement sept minutes trente. Le trajet de vingt kilomètres dure donc trente-sept minutes trente, soit cinq huitièmes d’heure. La vitesse moyenne réelle vaut 20 divisé par cinq huitièmes, donc seulement 32 km/h. Plus les vitesses sont différentes, plus il est important de revenir au temps de chaque étape.

Conclusion : une moyenne ne se devine pas

Pour deux trajets de quinze kilomètres parcourus à 30 et à 90 km/h, la vitesse moyenne est bien 45 km/h. L’erreur de 60 km/h venait de la confusion entre même distance et même durée.

Je retiens une leçon plus générale : avant de calculer une moyenne, il faut se demander ce qu’on mesure et comment les valeurs sont pondérées. Une formule simple, mais bien choisie, vaut toujours mieux qu’un réflexe trompeur.