Peut-on construire un objet que l’on peut remplir, mais qu’on ne pourra jamais peindre ?

Introduction — un objet impossible à peindre ?

Peut-on imaginer un objet qui soit infiniment long, que l’on puisse pourtant remplir avec une quantité finie de peinture, mais dont la surface extérieure soit si grande qu’il faudrait une quantité infinie de peinture pour la recouvrir ?

Cette idée semble contradictoire, mais elle apparaît dans un objet mathématique célèbre : la trompette de Torricelli, souvent appelée aussi corne de Gabriel.

Ma problématique est donc : comment construire un objet qui possède un volume fini mais une aire infinie ?

Je vais partir d’une fonction très simple, \(f(x)=1/x\), construire une surface de révolution, puis comparer deux calculs : celui du volume et celui de l’aire.

1. Construire la trompette

On considère la courbe de la fonction \[ f(x)=\frac1x,\qquad x\ge1. \] Cette fonction est positive, décroissante, et \[ \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. \] La courbe se rapproche donc de l’axe des abscisses sans jamais le toucher.

On fait ensuite tourner cette courbe autour de l’axe des abscisses. Chaque point de la courbe décrit un cercle ; on obtient une surface qui ressemble à une trompette de plus en plus fine.

Elle est infiniment longue, puisque \(x\) peut devenir aussi grand que l’on veut. La question est alors : son volume et son aire sont-ils eux aussi infinis ?

Pour bien comprendre le paradoxe, il faut distinguer deux idées. Dire que l’objet est infiniment long signifie que sa longueur selon l’axe des abscisses n’est pas bornée. Mais cela ne dit rien, à lui seul, sur la quantité de matière nécessaire pour remplir l’intérieur. Si le rayon devient très petit assez rapidement, les tranches successives peuvent apporter de moins en moins de volume.

2. Calculer le volume sur une longueur finie

Commençons par couper la trompette à l’abscisse \(b>1\). À l’abscisse \(x\), le rayon de la section circulaire vaut \[ r(x)=\frac1x. \] L’aire du disque correspondant est donc \[ \pi r(x)^2 = \frac{\pi}{x^2}. \]

Le volume entre \(x=1\) et \(x=b\) vaut alors \[ V(b)=\pi\int_1^b\frac1{x^2}\,dx. \] Or \[ \int\frac1{x^2}\,dx = -\frac1x. \] Ainsi \[ V(b) = \pi\left[-\frac1x\right]_1^b = \pi\left(1-\frac1b\right). \]

3. Une longueur infinie mais un volume fini

Pour retrouver la trompette entière, on fait tendre \(b\) vers \(+\infty\).

Comme \[ \lim_{b\to+\infty}\frac1b=0, \] on obtient \[ \lim_{b\to+\infty}V(b) = \pi. \] Donc \[ \boxed{V=\pi}. \]

C’est le premier résultat surprenant : l’objet est infiniment long, mais son volume total est fini.

Mathématiquement, cela vient du fait que le rayon diminue suffisamment vite. Les sections sont de plus en plus petites, et leur somme continue reste bornée.

On peut déjà vérifier numériquement l’effet. Pour \(b=10\), \[ V(10)=\pi\left(1-\frac1{10}\right)=0{,}9\pi. \] On possède donc déjà 90 % du volume total après seulement dix unités de longueur. Pour \(b=100\), \[ V(100)=0{,}99\pi. \] La partie infinie située après \(x=100\) ne représente donc plus que 1 % du volume total.

C’est une façon très concrète de comprendre la convergence : l’objet continue indéfiniment, mais ce qu’il reste à ajouter devient de plus en plus négligeable.

On peut même calculer exactement ce qu’il reste après une coupure à \(b\). Le volume total vaut \(\pi\), tandis que la partie entre \(1\) et \(b\) vaut \[ \pi\left(1-\frac1b\right). \] Le « volume de la queue » située après \(b\) vaut donc \[ \pi-\pi\left(1-\frac1b\right) = \boxed{\frac{\pi}{b}}. \] Après \(b=1000\), toute la partie infinie restante ne représente donc plus que \(\pi/1000\) unité cube. Cette formule montre très concrètement comment une infinité de longueur peut encore contenir une quantité de volume arbitrairement petite.

4. Et maintenant, calculer l’aire

Pour une surface obtenue par rotation autour de l’axe des abscisses, l’aire latérale entre \(1\) et \(b\) est donnée par \[ A(b)=2\pi\int_1^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx. \] Ici, \[ f(x)=\frac1x \] et \[ f'(x)=-\frac1{x^2}. \] Donc \[ A(b) = 2\pi\int_1^b \frac1x \sqrt{1+\frac1{x^4}} \,dx. \]

La formule de l’aire peut aussi être interprétée géométriquement. Sur une toute petite largeur \(dx\), la courbe possède une petite longueur \[ ds=\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx. \] En tournant autour de l’axe, cette portion engendre approximativement une fine bande de circonférence \(2\pi f(x)\). Son aire élémentaire est donc \[ dA\approx2\pi f(x)\,ds, \] ce qui explique la formule \[ A(b)=2\pi\int_1^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx. \] On peut présenter cette formule comme admise au Grand Oral, puis expliquer son sens géométrique.

Il n’est même pas nécessaire de calculer exactement cette intégrale. Comme \[ \sqrt{1+\frac1{x^4}}\ge1, \] on a \[ \frac1x\sqrt{1+\frac1{x^4}} \ge \frac1x. \] Donc \[ A(b) \ge 2\pi\int_1^b\frac1x\,dx. \]

5. Le logarithme fait diverger l’aire

Or \[ \int_1^b\frac1x\,dx = \ln b. \] Donc \[ A(b)\ge2\pi\ln b. \] Mais \[ \lim_{b\to+\infty}\ln b=+\infty. \] Par comparaison, \[ \boxed{A=+\infty}. \]

Ce qui est intéressant, c’est que l’aire diverge très lentement : elle est au moins de l’ordre de \(\ln b\). Le logarithme augmente sans borne, mais extrêmement lentement. Pour voir apparaître un doublement important de \(\ln b\), il faut multiplier \(b\) de façon considérable. L’infini peut donc se manifester sans explosion brutale.

On obtient donc le paradoxe : \[ \boxed{V=\pi\qquad\text{mais}\qquad A=+\infty}. \] Autrement dit, la trompette possède un volume fini mais une aire latérale infinie.

On peut aussi formuler le paradoxe d’une manière plus rigoureuse. Pour tout \(b\), la trompette tronquée possède un volume et une aire finis. Ce n’est qu’au moment où l’on fait tendre \(b\) vers \(+\infty\) que les deux comportements se séparent : \[ V(b)\longrightarrow\pi, \qquad A(b)\longrightarrow+\infty. \] Il n’y a donc aucune contradiction logique : les deux grandeurs sont définies par deux expressions différentes, et leurs limites ne sont pas contraintes d’avoir le même comportement.

Cette différence montre aussi pourquoi l’intuition géométrique peut échouer avec l’infini. Sur un objet ordinaire, lorsqu’on agrandit toutes les dimensions, volume et aire augmentent ensemble. Ici, au contraire, la trompette s’allonge indéfiniment tout en devenant de plus en plus fine. C’est précisément cette compétition entre longueur infinie et rayon décroissant qui produit le phénomène.

6. Pourquoi \(1/x^2\) donne un résultat fini alors que \(1/x\) diverge ?

Le volume fait apparaître \[ \frac1{x^2}, \] alors que l’aire est minorée par une expression en \[ \frac1x. \]

Les deux fonctions tendent vers zéro, mais cela ne suffit pas pour conclure que leurs intégrales restent finies.

En effet, \[ \int_1^b\frac1{x^2}\,dx = 1-\frac1b, \] qui reste inférieur à \(1\), tandis que \[ \int_1^b\frac1x\,dx = \ln b, \] qui augmente sans borne.

Ce sujet montre donc une idée importante : une fonction peut tendre vers zéro sans que l’aire accumulée sous sa courbe soit finie.

Dans un exposé de Terminale, on peut d’ailleurs éviter le vocabulaire technique d’« intégrale impropre ». On calcule toujours d’abord sur un intervalle fini \([1;b]\), exactement comme dans le programme, puis on étudie la limite du résultat lorsque \(b\) tend vers \(+\infty\). Le raisonnement reste donc construit avec des outils familiers : primitive, intégrale et limite.

Cette comparaison permet de préciser une idée essentielle : deux fonctions peuvent toutes deux tendre vers zéro, mais à des vitesses différentes. La fonction \(1/x^2\) décroît suffisamment vite pour que l’aire cumulée sous sa courbe reste finie. La fonction \(1/x\), elle, décroît trop lentement : chaque nouvelle tranche ajoute peu, mais il y en a infiniment, et l’accumulation totale devient infinie.

7. Peut-on généraliser ?

Considérons maintenant \[ f(x)=\frac1{x^\alpha}. \] Le volume fait intervenir \[ \int_1^{+\infty}\frac1{x^{2\alpha}}\,dx. \] Cette quantité est finie lorsque \[ 2\alpha>1, \] donc lorsque \[ \alpha>\frac12. \]

L’aire se comporte, pour les grandes valeurs de \(x\), comme une intégrale en \(1/x^\alpha\), qui diverge lorsque \[ \alpha\le1. \] On obtient donc toute une famille de fonctions vérifiant \[ \boxed{\frac12<\alpha\le1} \] pour lesquelles le volume est fini alors que l’aire est infinie.

8. Peut-on réellement fabriquer cet objet ?

Non, pas exactement. La trompette est un objet mathématique idéal : elle est infiniment longue et devient arbitrairement fine.

Dans le monde physique, la matière est constituée d’atomes et de molécules. À partir d’une certaine échelle, parler d’une surface parfaitement continue et d’une épaisseur de peinture arbitrairement petite n’a plus de sens.

La phrase « on peut la remplir mais pas la peindre » est donc une image mathématique. Elle illustre une différence entre deux grandeurs : le volume et l’aire de surface.

Il y a enfin une subtilité dans la formule populaire du paradoxe. Si l’on imagine « remplir la trompette de peinture », le liquide toucherait bien sa paroi intérieure. Mais cela ne signifie pas qu’on a déposé partout une couche uniforme d’épaisseur fixée. Une couche de peinture d’épaisseur positive sur une aire infinie demanderait, elle, un volume infini. Le paradoxe oppose donc surtout deux mesures mathématiques différentes : le volume de l’intérieur et l’aire de la frontière.

Conclusion — l’infini ne se comporte pas toujours comme notre intuition

La trompette de Torricelli est construite à partir de la fonction \[ f(x)=\frac1x. \] Son volume vaut \[ \boxed{\pi}, \] mais son aire latérale est \[ \boxed{+\infty}. \]

Le paradoxe vient donc de deux comportements différents : \[ \int_1^{+\infty}\frac1{x^2}\,dx \] converge, alors que \[ \int_1^{+\infty}\frac1x\,dx \] diverge.

Ce résultat montre surtout que, face à l’infini, notre intuition géométrique peut être trompeuse : une longueur infinie n’impose ni un volume infini, ni une aire finie.