Le problème type
Face à une situation de dénombrement, le plus difficile est souvent de reconnaître la structure du problème avant de calculer.
🧭 L'arbre de décision
Plusieurs étapes successives ?
→ Principe multiplicatif
On effectue un choix, puis un autre, puis éventuellement un autre.
Plusieurs cas incompatibles ?
→ Principe additif
Une possibilité appartient à un cas ou à un autre, mais pas aux deux.
Tous les éléments + ordre ?
→ Permutation
On range ou ordonne tous les éléments distincts : n!.
Une partie + ordre ?
→ Arrangement
On choisit seulement une partie des éléments et les positions sont différentes.
Une partie + pas d'ordre ?
→ Combinaison
On constitue simplement un groupe : np.
« Au moins un », « pas tous »… ?
→ Penser au complémentaire
Comparer le comptage direct avec : total − cas contraires.
✅ Corrigé des 6 situations
1. 5 tee-shirts et 4 pantalons
Principe multiplicatifOn choisit d'abord un tee-shirt, puis un pantalon : ce sont deux étapes successives.
2. Ranger 8 livres différents
PermutationOn utilise les 8 livres et leur ordre sur l'étagère compte.
3. Podium parmi 10 coureurs
Arrangement / choix ordonnéOn ne choisit que 3 coureurs parmi 10 et l'ordre compte : 1er, 2e et 3e sont des positions différentes.
4. Délégation de 4 élèves parmi 15
CombinaisonOn choisit 4 élèves parmi 15 et l'ordre des quatre élèves ne compte pas.
5. Au moins une fille dans la délégation
ComplémentaireIl est plus simple de compter toutes les délégations puis de retirer celles qui ne contiennent aucune fille, donc uniquement des garçons.
6. Un atelier scientifique ou un atelier artistique
Principe additifLes deux catégories constituent deux cas distincts : 4 ateliers scientifiques ou 3 ateliers artistiques.
✏️ À toi de jouer !
Cette fois, aucune méthode n'est indiquée : à toi de la reconnaître.
1. Un code est constitué d'une lettre parmi 6 puis de deux chiffres. Quelle méthode utiliser ?
2. On range 7 photos différentes dans une rangée. Quelle méthode utiliser ?
3. Parmi 12 candidats, on attribue les fonctions de président, vice-président et secrétaire. Quelle méthode utiliser ?
4. Parmi 12 candidats, on choisit simplement 3 représentants. Quelle méthode utiliser ?
5. Parmi 12 personnes dont 5 adultes et 7 jeunes, on choisit un groupe de 4 contenant au moins un adulte. Quelle stratégie peut simplifier le comptage ?
6. Un participant choisit soit l'une des 5 conférences, soit l'un des 4 ateliers. Quelle méthode utiliser ?