Le problème type
Une classe compte 20 élèves : 12 filles et 8 garçons. On choisit un groupe de 5 élèves pour représenter la classe.
La méthode en 4 étapes
- Identifier précisément la situation que l'on cherche à compter.
- Déterminer son complémentaire : la situation contraire.
- Compter le nombre total de possibilités et le nombre de cas contraires.
- Effectuer la soustraction : total − cas contraires.
✅ Corrigé détaillé
1. Combien de groupes de 5 élèves peut-on former ?
On choisit 5 élèves parmi les 20 élèves de la classe. L'ordre des élèves dans le groupe ne compte pas : il s'agit donc d'une combinaison.
2. Combien de groupes sont constitués uniquement de filles ?
La classe compte 12 filles. Pour obtenir un groupe uniquement constitué de filles, on choisit 5 filles parmi les 12.
3. Combien de groupes contiennent au moins un garçon ?
Compter directement les groupes contenant 1, 2, 3, 4 ou 5 garçons serait possible, mais inutilement long.
Le complémentaire de « au moins un garçon » est « aucun garçon », c'est-à-dire un groupe composé uniquement de filles.
On retire donc du nombre total de groupes les 792 groupes sans garçon :
4. Combien de ces groupes contiennent au moins deux garçons ?
Nous savons qu'il existe 14 712 groupes contenant au moins un garçon.
Pour obtenir ceux qui en contiennent au moins deux, il suffit d'enlever les groupes contenant exactement un garçon.
Pour former un groupe avec exactement un garçon, on choisit :
- 1 garçon parmi les 8 garçons ;
- 4 filles parmi les 12 filles.
On retire ces groupes des 14 712 groupes contenant au moins un garçon :
✏️ À toi de jouer !
Un nouvel exercice pour vérifier que le réflexe « au moins un → complémentaire » est acquis.
Exercice d'entraînement — Méthode 5
Une boîte contient 10 jetons rouges et 6 jetons bleus. On prélève simultanément 4 jetons.
1. Combien de prélèvements différents de 4 jetons peut-on former ?
2. Combien ne contiennent aucun jeton bleu ?
3. En déduire le nombre de prélèvements contenant au moins un jeton bleu.