Le problème type
On cherche à ordonner tous les éléments distincts d’un ensemble. L’ordre des éléments compte : deux ordres différents correspondent à deux possibilités différentes.
🎬 La méthode expliquée pas à pas
Regarde la correction de l’énoncé : on part d’une permutation simple, puis on adapte le comptage lorsqu’une contrainte est imposée.
La méthode en 5 étapes
- Identifier les objets à ordonner. Ici, les six élèves sont tous distincts.
- Vérifier que l’ordre compte. Changer l’ordre des élèves donne un nouveau placement.
- Si les n éléments sont tous utilisés et librement ordonnés, utiliser n!.
- Si une contrainte est imposée, la traiter d’abord : position particulière, éléments côte à côte, etc.
- Revenir ensuite à une permutation du nombre d’éléments restant à ordonner et ne pas oublier les éventuels facteurs supplémentaires.
1. Les six élèves se placent librement
On ordonne les six élèves distincts.
Il existe donc 720 placements différents.
2. Alice doit être à une extrémité
Alice peut être placée à gauche ou à droite : 2 choix. Les cinq autres élèves peuvent ensuite être ordonnés librement : 5! possibilités.
Il existe donc 240 placements possibles.
3. Alice et Bilal doivent être côte à côte
On considère le couple Alice–Bilal comme un seul bloc. Avec Chloé, Diego, Emma et Farid, cela donne cinq éléments à ordonner, donc 5! possibilités.
Mais, à l’intérieur du bloc, deux ordres sont possibles : AB ou BA.
Il existe donc 240 placements possibles.
✏️ À toi de jouer !
À toi maintenant de reconnaître une nouvelle situation de permutation et d’adapter le comptage aux contraintes.
Exercice d'entraînement — Méthode 2
Sept livres différents doivent être rangés côte à côte sur une étagère.
1. Combien de rangements différents sont possibles ?
2. Combien de rangements sont possibles si un livre précis doit être placé à une extrémité de l’étagère ?
3. Combien de rangements sont possibles si deux livres précis doivent rester côte à côte ?