MÉTHODE 8

Utiliser la dérivation pour étudier le sens de variation

Calculer \(f'\), étudier son signe, puis en déduire les variations de \(f\).

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1. Le principe fondamental

\[ \boxed{f'(x)>0\Longrightarrow f\text{ est strictement croissante}} \]
\[ \boxed{f'(x)<0\Longrightarrow f\text{ est strictement décroissante}} \]

sur tout intervalle où ces inégalités sont vérifiées.

\(f(x)\)  →  \(f'(x)\)  →  signe de \(f'(x)\)  →  variations de \(f\)

2. La méthode

Étape 1
Déterminer l'ensemble ou l'intervalle d'étude.
Étape 2
Calculer \(f'(x)\) et la factoriser si possible.
Étape 3
Étudier le signe de \(f'(x)\).
Étape 4
En déduire les variations de \(f\) et calculer les valeurs aux extremums.

Exemple 1 — Dérivée du second degré

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=x^3-3x^2-9x+5.\]

Calculons sa dérivée :

\[f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).\]

Les zéros de \(f'\) sont donc \(-1\) et \(3\). Comme \(3>0\), le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles :

\[ f'(x)>0\text{ sur }]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[ \] \[ f'(x)<0\text{ sur }]-1;3[. \]

Calculons les valeurs utiles :

\[f(-1)=10\qquad\text{et}\qquad f(3)=-22.\]
Tableau de variations de la fonction f de l'exemple 1

Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1]\), strictement décroissante sur \([-1;3]\), puis strictement croissante sur \([3;+\infty[\).

Exemple 2 — Une dérivée composée qui se factorise naturellement

Soit \(g\) définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[g(x)=x\,e^{-x^2}.\]

D'après la méthode précédente :

\[ g'(x)=e^{-x^2}(1-2x^2). \]

Pour tout \(x\geq0\) :

\[e^{-x^2}>0.\]

Ainsi, \(g'(x)\) est du signe de \(1-2x^2\).

\[ 1-2x^2=0 \iff x^2=\frac12 \iff x=\frac{\sqrt2}{2} \quad\text{sur }[0;+\infty[. \]

Donc :

\[ g'(x)>0\text{ sur }\left[0;\frac{\sqrt2}{2}\right[ \qquad\text{et}\qquad g'(x)<0\text{ sur }\left]\frac{\sqrt2}{2};+\infty\right[. \]

La valeur au maximum est :

\[ g\left(\frac{\sqrt2}{2}\right) =\frac{\sqrt2}{2}e^{-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2} =\frac{\sqrt2}{2}e^{-1/2}. \]

\(g\) est donc strictement croissante sur \(\left[0;\frac{\sqrt2}{2}\right]\), puis strictement décroissante sur \(\left[\frac{\sqrt2}{2};+\infty\right[\).

Elle admet sur \([0;+\infty[\) un maximum atteint pour \(x=\frac{\sqrt2}{2}\), égal à :

\[\boxed{\frac{\sqrt2}{2}e^{-1/2}}\]

Exemple 3 — Quand un facteur est toujours positif

Soit :

\[h(x)=e^{2x}(x-1).\]

Par dérivation d'un produit :

\[ h'(x)=2e^{2x}(x-1)+e^{2x} =e^{2x}(2x-1). \]

Or, pour tout réel \(x\) :

\[e^{2x}>0.\]

Le signe de \(h'(x)\) est donc exactement celui de \(2x-1\) :

\[ 2x-1=0\iff x=\frac12. \]

Ainsi \(h'(x)<0\) si \(x<\frac12\), et \(h'(x)>0\) si \(x>\frac12\).

\[ \boxed{h\text{ est strictement décroissante sur }]-\infty;\tfrac12]\text{ puis strictement croissante sur }[\tfrac12;+\infty[.} \]

Elle admet donc un minimum en \(x=\frac12\) :

\[ \boxed{h\left(\frac12\right)=-\frac e2.} \]

⚠️ Un point essentiel : étudier le signe de \(f'\), pas seulement calculer \(f'\)

La dérivée n'est qu'une étape. Pour obtenir les variations, il faut expliquer son signe. Lorsqu'un facteur est toujours strictement positif, comme \(e^{u(x)}\), il ne change pas le signe du produit.

\[ e^{u(x)}>0\quad\Longrightarrow\quad e^{u(x)}A(x)\text{ est du même signe que }A(x). \]

3. Rédaction type

Une rédaction solide suit toujours cet ordre :

\[ \boxed{\text{Calcul de }f'\ \longrightarrow\ \text{étude du signe de }f'\ \longrightarrow\ \text{variations de }f} \]

On termine en calculant les images des valeurs où \(f'\) s'annule lorsqu'elles correspondent à un maximum ou à un minimum.

⚠️ Erreurs à éviter

  • Passer directement de l'expression de \(f'\) au tableau de variations sans justifier son signe.
  • Confondre le signe de \(f\) avec celui de \(f'\).
  • Oublier de tenir compte de l'intervalle d'étude.
  • Oublier de calculer la valeur de la fonction à un extremum.
  • Écrire qu'une fonction est croissante parce que \(f'(x)\geq0\) sans préciser l'intervalle concerné.

À toi de jouer

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=(x+1)e^{-x}. \]

1. Calculer \(f'(x)\).

2. Étudier le signe de \(f'(x)\).

3. En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et préciser son extremum.

Afficher le corrigé

Par dérivation d'un produit :

\[ f'(x)=1\times e^{-x}+(x+1)(-e^{-x}). \]

Donc :

\[ f'(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-xe^{-x}. \]

Pour tout réel \(x\), \(e^{-x}>0\). Ainsi \(f'(x)\) est du signe de \(-x\).

\[ f'(x)>0\text{ si }x<0,\qquad f'(0)=0,\qquad f'(x)<0\text{ si }x>0. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{f\text{ est strictement croissante sur }]-\infty;0]\text{ puis strictement décroissante sur }[0;+\infty[.} \]

La fonction admet donc un maximum en \(x=0\), et :

\[ f(0)=(0+1)e^0=1. \]
\[ \boxed{\text{Le maximum de }f\text{ sur }\mathbb{R}\text{ est }1,\text{ atteint pour }x=0.} \]