MÉTHODE 7

Dériver une fonction composée

Repérer la fonction intérieure \(u\), choisir la bonne formule puis dériver sans oublier le facteur \(u'\).

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1. Les formules à connaître

Puissance
\[ \boxed{(u^n)'=n\,u'\,u^{\,n-1}} \]
Racine carrée
\[ \boxed{(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}} \]
Exponentielle
\[ \boxed{(e^u)'=u'e^u} \]

Dans chacune de ces formules, \(u\) est une fonction dérivable sur l’intervalle considéré, avec les conditions de définition nécessaires.

2. Formule générale de composition

Si \(f\) et \(g\) sont dérivables lorsque la composition a un sens :

\[ \boxed{(f\circ g)'(x)=g'(x)\times f'(g(x))} \]

Autrement dit : on dérive la fonction extérieure, en conservant l’expression intérieure, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.

3. La méthode

Étape 1
Identifier l’expression intérieure et la noter \(u(x)\).
Étape 2
Calculer \(u'(x)\).
Étape 3
Appliquer la formule adaptée, puis simplifier l’expression obtenue.

Exemple 1 — Dériver une exponentielle composée

Soit :

\[ f(x)=e^{\,3x^2-5x+1}. \]

On pose :

\[ u(x)=3x^2-5x+1. \]

Alors :

\[ u'(x)=6x-5. \]

Comme :

\[ (e^u)'=u'e^u, \]

on obtient :

\[ \boxed{f'(x)=(6x-5)e^{\,3x^2-5x+1}.} \]

Exemple 2 — Dériver une puissance composée

Soit :

\[ g(x)=(2x^3-x+4)^5. \]

On pose :

\[ u(x)=2x^3-x+4. \]

Donc :

\[ u'(x)=6x^2-1. \]

Avec la formule :

\[ (u^5)'=5u'u^4, \]

on obtient :

\[ \boxed{g'(x)=5(6x^2-1)(2x^3-x+4)^4.} \]

Exemple 3 — Dériver une racine carrée composée

Soit :

\[ h(x)=\sqrt{x^2+3x+5}. \]

On pose :

\[ u(x)=x^2+3x+5. \]

Alors :

\[ u'(x)=2x+3. \]

Avec :

\[ (\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}, \]

on obtient :

\[ \boxed{h'(x)=\frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x+5}}.} \]

Exemple 4 — Une composition dans un produit

Soit :

\[ f(x)=x\,e^{-x^2}. \]

Cette fois, la fonction est d’abord un produit. On utilise :

\[ (uv)'=u'v+uv'. \]

Pour dériver \(e^{-x^2}\), on utilise ensuite une composition. Posons :

\[ u(x)=-x^2 \qquad\Longrightarrow\qquad u'(x)=-2x. \]

Donc :

\[ (e^{-x^2})'=(-2x)e^{-x^2}. \]

Ainsi :

\[ f'(x)=1\times e^{-x^2}+x\times(-2x)e^{-x^2}. \]

On factorise par \(e^{-x^2}\) :

\[ \boxed{f'(x)=e^{-x^2}(1-2x^2).} \]

⚠️ Le piège classique : oublier \(u'\)

Si :

\[ f(x)=e^{x^2}, \]

on ne doit surtout pas écrire \(f'(x)=e^{x^2}\). Ici \(u(x)=x^2\), donc \(u'(x)=2x\).

\[ \boxed{f'(x)=2x\,e^{x^2}.} \]

Le même principe vaut pour une puissance ou une racine : la dérivée de l’intérieur doit apparaître.

4. À retenir

\[ \boxed{\text{Repérer }u\quad\longrightarrow\quad \text{calculer }u'\quad\longrightarrow\quad \text{appliquer la formule}} \]
\[ \boxed{(e^u)'=u'e^u} \qquad \boxed{(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}} \qquad \boxed{(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}} \]

⚠️ Erreurs à éviter

  • Oublier le facteur \(u'\).
  • Dériver uniquement l’expression intérieure sans dériver la fonction extérieure.
  • Confondre une composition avec un produit.
  • Développer inutilement une expression comme \((2x^3-x+4)^5\) avant de la dériver.

À toi de jouer

Soit :

\[ f(x)=e^{\,2x^3-3x}. \]

Calculer \(f'(x)\) en détaillant les différentes étapes.

Afficher le corrigé

On pose :

\[ u(x)=2x^3-3x. \]

Alors :

\[ u'(x)=6x^2-3. \]

Or :

\[ (e^u)'=u'e^u. \]

Donc :

\[ \boxed{f'(x)=(6x^2-3)e^{\,2x^3-3x}.} \]