MÉTHODE 4

Déterminer les asymptotes d’une courbe

Traduire une limite en information géométrique : asymptote verticale ou asymptote horizontale.

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1. Les deux situations à connaître

Asymptote verticale

Si, pour un réel \(a\), au moins une des limites latérales de \(f\) en \(a\) est infinie, alors la droite d’équation \(x=a\) est une asymptote verticale à la courbe.

\[ \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty \]
\[ \boxed{x=a} \]

Asymptote horizontale

Si \(f(x)\) tend vers un réel \(\ell\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), alors la droite d’équation \(y=\ell\) est une asymptote horizontale à la courbe.

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell \]
\[ \boxed{y=\ell} \]

2. La méthode

Étape 1
Repérer les valeurs interdites éventuelles : elles sont candidates pour une asymptote verticale.
Étape 2
Calculer les limites à gauche et à droite des valeurs concernées.
Étape 3
Calculer les limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\) pour rechercher d’éventuelles asymptotes horizontales.

Exemple 1 — Asymptote verticale

Soit :

\[ f(x)=\frac{2x+3}{x-1}. \]

La fonction n’est pas définie pour \(x=1\). Étudions les limites de \(f\) au voisinage de \(1\).

Lorsque \(x\to1\), le numérateur vérifie :

\[ 2x+3\to5>0. \]

À gauche de \(1\) :

\[ x-1\to0^-. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to1^-}\frac{2x+3}{x-1}=-\infty} \]

À droite de \(1\) :

\[ x-1\to0^+. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to1^+}\frac{2x+3}{x-1}=+\infty} \]

On en déduit :

\[ \boxed{\text{La droite d’équation }x=1\text{ est une asymptote verticale à la courbe de }f.} \]

Exemple 2 — Asymptote horizontale

Soit :

\[ g(x)=\frac{3x^2-5x+1}{x^2+2}. \]

Les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur sont \(3x^2\) et \(x^2\). Ainsi :

\[ \frac{3x^2}{x^2}=3. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{x^2+2}=3} \]

et également :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2-5x+1}{x^2+2}=3} \]

On en déduit :

\[ \boxed{\text{La droite d’équation }y=3\text{ est une asymptote horizontale à la courbe de }g.} \]

Exemple 3 — Rechercher toutes les asymptotes

Soit :

\[ h(x)=\frac{2x-1}{x+2}. \]

Recherche d’une asymptote verticale

La fonction n’est pas définie lorsque :

\[ x+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-2. \]

Au voisinage de \(-2\), le numérateur tend vers :

\[ 2(-2)-1=-5<0. \]

Lorsque \(x\to-2^-\), \(x+2\to0^-\). Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{x\to-2^-}\frac{2x-1}{x+2}=+\infty} \]

Lorsque \(x\to-2^+\), \(x+2\to0^+\). Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{x\to-2^+}\frac{2x-1}{x+2}=-\infty} \]

Donc :

\[ \boxed{\text{La droite d’équation }x=-2\text{ est une asymptote verticale à la courbe de }h.} \]

Recherche d’une asymptote horizontale

À l’infini, le quotient a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré :

\[ \frac{2x}{x}=2. \]

Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1}{x+2}=2} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{2x-1}{x+2}=2} \]

Donc :

\[ \boxed{\text{La droite d’équation }y=2\text{ est une asymptote horizontale à la courbe de }h.} \]

⚠️ Attention : valeur interdite ≠ asymptote verticale

Une valeur interdite est seulement une candidate. Il faut étudier la limite avant de conclure.

Par exemple :

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad x\neq1. \]

Pour \(x\neq1\) :

\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2} \]

La limite n’est pas infinie : la droite \(x=1\) n’est donc pas une asymptote verticale.

3. À retenir

\[ \boxed{\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty \quad\Longrightarrow\quad x=a\text{ est une asymptote verticale}} \]
\[ \boxed{\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell \quad\Longrightarrow\quad y=\ell\text{ est une asymptote horizontale}} \]

Il faut toujours terminer par une phrase géométrique donnant l’équation de l’asymptote.

⚠️ Erreurs à éviter

  • Confondre les équations : une asymptote verticale s’écrit \(x=a\), une asymptote horizontale s’écrit \(y=\ell\).
  • Affirmer qu’une valeur interdite donne automatiquement une asymptote verticale.
  • Écrire seulement \(+\infty\) ou \(-\infty\) sans rédiger la limite complète.
  • Oublier d’étudier séparément les limites à gauche et à droite lorsque cela est nécessaire.

À toi de jouer

On considère la fonction :

\[ f(x)=\frac{4x+1}{x-3}. \]

Déterminer les éventuelles asymptotes verticales et horizontales à la courbe représentative de \(f\). Justifier chaque réponse par un calcul de limite.

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1. Asymptote verticale

La fonction n’est pas définie pour \(x=3\). Lorsque \(x\to3\) :

\[ 4x+1\to13>0. \]

À gauche de \(3\) :

\[ x-3\to0^-, \]

donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to3^-}\frac{4x+1}{x-3}=-\infty}. \]

À droite de \(3\) :

\[ x-3\to0^+, \]

donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to3^+}\frac{4x+1}{x-3}=+\infty}. \]

Ainsi :

\[ \boxed{\text{La droite d’équation }x=3\text{ est une asymptote verticale à la courbe de }f.} \]

2. Asymptote horizontale

À \(+\infty\) et à \(-\infty\), la fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré :

\[ \frac{4x}{x}=4. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+1}{x-3}=4} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{4x+1}{x-3}=4}. \]

Ainsi :

\[ \boxed{\text{La droite d’équation }y=4\text{ est une asymptote horizontale à la courbe de }f.} \]