MÉTHODE 6

Utiliser les théorèmes des gendarmes et de comparaison

Encadrer ou comparer une fonction afin de déterminer sa limite.

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1. Les théorèmes à connaître

Théorème des gendarmes

Si, au voisinage de \(+\infty\),

\[ g(x)\leq f(x)\leq h(x) \]

et si :

\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=\ell \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}h(x)=\ell, \]

alors :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell.} \]

Théorèmes de comparaison

Si, au voisinage de \(+\infty\),

\[f(x)\leq g(x)\]

et si :

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\]

alors :

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty.}\]

Si, au voisinage de \(+\infty\),

\[f(x)\leq g(x)\]

et si :

\[\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty,\]

alors :

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.}\]

Ces énoncés s’adaptent de la même manière à une limite en \(-\infty\) ou en un réel.

2. La méthode

Étape 1
Trouver un encadrement ou une comparaison valable au voisinage de la valeur étudiée.
Étape 2
Calculer soigneusement la ou les limites des fonctions qui encadrent ou comparent.
Étape 3
Citer explicitement le théorème utilisé puis écrire la limite complète de la fonction étudiée.

Exemple 1 — Théorème des gendarmes

Déterminer :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}. \]

Pour tout réel \(x\), on sait que :

\[ -1\leq\sin x\leq1. \]

Pour \(x>0\), on peut diviser cette inégalité par \(x\) sans en changer le sens :

\[ -\frac1x\leq\frac{\sin x}{x}\leq\frac1x. \]

Or :

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac1x\right)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. \]

D’après le théorème des gendarmes :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0.} \]

Exemple 2 — Comparaison vers \(+\infty\)

Déterminer :

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(x^2-8x\sin x\right). \]

Pour tout réel \(x\) :

\[ -1\leq\sin x\leq1. \]

Pour \(x>0\), on a \(-8x<0\). En multipliant l’inégalité \(\sin x\leq1\) par \(-8x\), le sens de l’inégalité s’inverse :

\[ -8x\sin x\geq-8x. \]

En ajoutant \(x^2\) :

\[ x^2-8x\sin x\geq x^2-8x. \]

Or :

\[ x^2-8x=x(x-8) \]

et :

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^2-8x)=+\infty. \]

D’après le théorème de comparaison :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-8x\sin x\right)=+\infty.} \]

Exemple 3 — Comparaison vers \(-\infty\)

Déterminer :

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(3x^5+8x^4\cos x\right). \]

Pour tout réel \(x\) :

\[ \cos x\leq1. \]

Comme \(8x^4\geq0\), on peut multiplier cette inégalité par \(8x^4\) sans en changer le sens :

\[ 8x^4\cos x\leq8x^4. \]

En ajoutant \(3x^5\) :

\[ 3x^5+8x^4\cos x\leq3x^5+8x^4. \]

Factorisons :

\[ 3x^5+8x^4=x^4(3x+8). \]

Lorsque \(x\to-\infty\) :

\[ x^4\to+\infty \qquad\text{et}\qquad 3x+8\to-\infty. \]

Par produit :

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(3x^5+8x^4\right)=-\infty. \]

D’après le théorème de comparaison :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}\left(3x^5+8x^4\cos x\right)=-\infty.} \]

⚠️ Attention au sens des inégalités

Lorsqu’on multiplie une inégalité par une quantité négative, son sens s’inverse.

\[ a\leq b,\quad k<0 \qquad\Longrightarrow\qquad ka\geq kb. \]

C’est un point particulièrement important dans les exercices contenant \(\sin x\) ou \(\cos x\).

3. Quel théorème choisir ?

  • On cherche une limite finie et on peut enfermer la fonction entre deux expressions ayant la même limite : théorème des gendarmes.
  • On cherche à montrer que la limite vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\) : une seule comparaison bien choisie peut suffire.
\[ \boxed{\text{Encadrer pour une limite finie ; comparer pour forcer une limite infinie.}} \]

⚠️ Erreurs à éviter

  • Citer un théorème sans avoir écrit l’inégalité qui permet de l’utiliser.
  • Oublier de calculer les limites des fonctions de comparaison.
  • Inverser incorrectement le sens d’une inégalité après multiplication par une quantité négative.
  • Écrire seulement « par comparaison » sans préciser les éléments qui permettent de conclure.

À toi de jouer

Déterminer :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(2x^2+5x\cos x\right)}. \]
Afficher le corrigé

Pour tout réel \(x\) :

\[ \cos x\geq-1. \]

Pour \(x>0\), \(5x>0\). On peut donc multiplier l’inégalité par \(5x\) sans en changer le sens :

\[ 5x\cos x\geq-5x. \]

En ajoutant \(2x^2\) :

\[ 2x^2+5x\cos x\geq2x^2-5x. \]

Or :

\[ 2x^2-5x=x(2x-5) \]

et :

\[ \lim_{x\to+\infty}(2x^2-5x)=+\infty. \]

D’après le théorème de comparaison :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(2x^2+5x\cos x\right)=+\infty.} \]