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1. Reconnaître le problème
Une forme indéterminée ne donne pas la valeur de la limite : elle indique qu’il faut transformer l’expression.
\[\boxed{+\infty-\infty}\qquad\boxed{\frac{\infty}{\infty}}\]
2. Quel réflexe adopter ?
Polynôme à l’infini
Factoriser par la plus grande puissance de \(x\).
Quotient de polynômes
Faire apparaître les termes de plus haut degré.
Expression factorisable
Factoriser puis simplifier avant de calculer la limite.
Expression avec une racine
Penser à multiplier par la quantité conjuguée.
Exemple 1 — Polynôme
Déterminer :
\[\lim_{x\to+\infty}(-3x^4+5x^2-6x+1).\]
On factorise par \(x^4\) :
\[-3x^4+5x^2-6x+1=x^4\left(-3+\frac5{x^2}-\frac6{x^3}+\frac1{x^4}\right).\]
Le premier facteur tend vers \(+\infty\) et le second vers \(-3\). Par produit :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(-3x^4+5x^2-6x+1)=-\infty}\]
Exemple 2 — Fraction rationnelle
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^2+4x-3}.\]
On obtient \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise :
\[
\frac{2x^3-5x+1}{x^2+4x-3}
=x\,\frac{2-\frac5{x^2}+\frac1{x^3}}{1+\frac4x-\frac3{x^2}}.
\]
Le quotient tend vers \(2\) et \(x\to+\infty\). Par produit :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^2+4x-3}=+\infty}\]
Exemple 3 — Quantité conjuguée
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right).
\]
Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[
\sqrt{x^2+x}\to+\infty
\qquad\text{et}\qquad
x\to+\infty.
\]
On obtient donc la forme indéterminée \(+\infty-\infty\).
Pour lever cette forme indéterminée, on multiplie et on divise par la quantité conjuguée
\(\sqrt{x^2+x}+x\) :
\[
\sqrt{x^2+x}-x
=
\frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}
{\sqrt{x^2+x}+x}.
\]
Au numérateur, on utilise l’identité remarquable
\((A-B)(A+B)=A^2-B^2\) :
\[
\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)
=
\left(\sqrt{x^2+x}\right)^2-x^2.
\]
\[
=x^2+x-x^2=x.
\]
Ainsi :
\[
\sqrt{x^2+x}-x
=
\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.
\]
Comme \(x\to+\infty\), on a \(x>0\) à partir d’un certain rang. On peut donc écrire :
\[
\sqrt{x^2+x}
=
\sqrt{x^2\left(1+\frac1x\right)}
=
x\sqrt{1+\frac1x}.
\]
D’où :
\[
\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}
=
\frac{x}{x\sqrt{1+\frac1x}+x}
=
\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)}.
\]
On simplifie par \(x\neq0\) :
\[
\sqrt{x^2+x}-x
=
\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}.
\]
Or :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac1x}=1.
\]
Par quotient :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac12}
\]
3. À retenir
\[
\boxed{\text{À }+\infty\text{ ou }-\infty,\text{ un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.}}
\]
\[
\boxed{\text{À }+\infty\text{ ou }-\infty,\text{ un quotient de polynômes a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.}}
\]
⚠️ Erreurs à éviter
- Confondre une forme indéterminée avec une limite.
- Conclure directement à partir de \(+\infty-\infty\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\).
- Oublier de simplifier après la factorisation.
À toi de jouer
Déterminer en détaillant la transformation :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^3-2x^2+5}{2x^2-x+4}}\]
Afficher le corrigé
\[
\frac{3x^3-2x^2+5}{2x^2-x+4}
=x\,\frac{3-\frac2x+\frac5{x^3}}{2-\frac1x+\frac4{x^2}}.
\]
Le quotient tend vers \(\frac32>0\) et \(x\to+\infty\). Par produit :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^3-2x^2+5}{2x^2-x+4}=+\infty}
\]