MÉTHODE 3

Étudier une limite en un réel

Déterminer les limites à gauche et à droite d’un réel en étudiant précisément les signes.

← Retour au chapitre

1. Limite à gauche et limite à droite

Lorsque \(x\) tend vers un réel \(a\), il peut être nécessaire de distinguer deux situations :

\[ x\to a^- \quad\text{: }x\text{ tend vers }a\text{ avec }x<a \]
\[ x\to a^+ \quad\text{: }x\text{ tend vers }a\text{ avec }x>a. \]

Les deux limites peuvent être différentes. C’est notamment fréquent lorsque le dénominateur tend vers \(0\).

2. La méthode

Étape 1
Calculer séparément la limite du numérateur et celle du dénominateur.
Étape 2
Si le dénominateur tend vers \(0\), déterminer s’il tend vers \(0^+\) ou vers \(0^-\).
Étape 3
Utiliser le signe du numérateur et celui du dénominateur pour conclure sur \(+\infty\) ou \(-\infty\).

Le point essentiel : \(0^+\) et \(0^-\)

Écrire seulement « le dénominateur tend vers \(0\) » ne suffit pas pour déterminer le signe de l’infini.

\[ \frac{\text{nombre positif}}{0^+}=+\infty \qquad\text{et}\qquad \frac{\text{nombre positif}}{0^-}=-\infty. \]
\[ \frac{\text{nombre négatif}}{0^+}=-\infty \qquad\text{et}\qquad \frac{\text{nombre négatif}}{0^-}=+\infty. \]

Exemple 1 — Un dénominateur du type \(x-a\)

Soit :

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x-3}. \]

Déterminons les limites de \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(3\).

À gauche de \(3\)

Lorsque \(x\to3^-\) :

\[ 2x+1\to7 \qquad\text{et}\qquad x-3\to0^-. \]

Le numérateur est donc positif au voisinage de \(3\), tandis que le dénominateur est négatif à gauche de \(3\).

\[ \frac{7}{0^-}=-\infty. \]
\[ \boxed{\lim_{x\to3^-}\frac{2x+1}{x-3}=-\infty} \]

À droite de \(3\)

Lorsque \(x\to3^+\) :

\[ 2x+1\to7 \qquad\text{et}\qquad x-3\to0^+. \]

Le numérateur et le dénominateur sont alors positifs.

\[ \frac{7}{0^+}=+\infty. \]
\[ \boxed{\lim_{x\to3^+}\frac{2x+1}{x-3}=+\infty} \]

Exemple 2 — Le signe ne change pas des deux côtés

Déterminer les limites de :

\[ g(x)=\frac{-3x+1}{(x-2)^2} \]

lorsque \(x\) tend vers \(2\).

Pour le numérateur :

\[ -3x+1\longrightarrow -5. \]

Il est donc négatif au voisinage de \(2\).

Pour le dénominateur, comme \((x-2)^2>0\) pour \(x\neq2\) :

\[ (x-2)^2\longrightarrow0^+ \]

que \(x\) tende vers \(2\) par la gauche ou par la droite.

\[ \boxed{\lim_{x\to2^-}\frac{-3x+1}{(x-2)^2}=-\infty} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lim_{x\to2^+}\frac{-3x+1}{(x-2)^2}=-\infty} \]

Exemple 3 — Un dénominateur factorisé

Déterminer les limites de :

\[ h(x)=\frac{x+2}{(x-1)(x+3)} \]

lorsque \(x\) tend vers \(1\).

Le numérateur vérifie :

\[ x+2\longrightarrow3>0. \]

Dans le dénominateur :

\[ x+3\longrightarrow4>0. \]

Le signe du dénominateur dépend donc uniquement du facteur \(x-1\) au voisinage de \(1\).

Lorsque \(x\to1^-\) :
\[ x-1\to0^-, \qquad x+3\to4^+, \qquad (x-1)(x+3)\to0^-. \]
\[ \boxed{\lim_{x\to1^-}\frac{x+2}{(x-1)(x+3)}=-\infty} \]
Lorsque \(x\to1^+\) :
\[ x-1\to0^+, \qquad x+3\to4^+, \qquad (x-1)(x+3)\to0^+. \]
\[ \boxed{\lim_{x\to1^+}\frac{x+2}{(x-1)(x+3)}=+\infty} \]

3. À retenir

Pour une limite en un réel \(a\), si le dénominateur tend vers \(0\), il faut presque toujours se poser la question :

\[ \boxed{\text{Le dénominateur tend-il vers }0^+\text{ ou vers }0^-\,?} \]

On étudie alors séparément \(x\to a^-\) et \(x\to a^+\). Un petit tableau de signes peut être très utile lorsque le dénominateur comporte plusieurs facteurs.

⚠️ Erreurs à éviter

  • Écrire \(\frac{1}{0}=+\infty\) : une division par zéro n’est pas définie.
  • Oublier de distinguer la gauche et la droite lorsque le signe change au voisinage du réel étudié.
  • Écrire \(0\) au lieu de \(0^+\) ou \(0^-\) lorsque le signe est nécessaire pour conclure.
  • Conclure sur le signe de l’infini sans avoir étudié le signe du numérateur et du dénominateur.

À toi de jouer

Soit :

\[ f(x)=\frac{2-x}{(x+1)(x-4)}. \]

Déterminer :

\[ \boxed{\lim_{x\to4^-}f(x)} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lim_{x\to4^+}f(x)}. \]
Afficher le corrigé

Lorsque \(x\to4\) :

\[ 2-x\to-2<0 \qquad\text{et}\qquad x+1\to5>0. \]

Le signe du dénominateur dépend donc du signe de \(x-4\).

À gauche de \(4\) :

\[ x-4\to0^-, \qquad (x+1)(x-4)\to0^-. \]

Le numérateur est négatif et le dénominateur tend vers \(0^-\). Le quotient tend donc vers \(+\infty\).

\[ \boxed{\lim_{x\to4^-}\frac{2-x}{(x+1)(x-4)}=+\infty} \]

À droite de \(4\) :

\[ x-4\to0^+, \qquad (x+1)(x-4)\to0^+. \]

Le numérateur est négatif et le dénominateur tend vers \(0^+\). Le quotient tend donc vers \(-\infty\).

\[ \boxed{\lim_{x\to4^+}\frac{2-x}{(x+1)(x-4)}=-\infty} \]