1. Principe
Si :
\[\lim_{x\to a}g(x)=b\qquad\text{et}\qquad\lim_{X\to b}f(X)=\ell,\]
alors, lorsque le théorème de composition s'applique :
\[\boxed{\lim_{x\to a}f(g(x))=\ell.}\]
2. La rédaction à adopter
Étape 1
Calculer la limite de l'expression intérieure.
Calculer la limite de l'expression intérieure.
Étape 2
Poser une variable \(X\) et écrire la limite de la fonction extérieure.
Poser une variable \(X\) et écrire la limite de la fonction extérieure.
Étape 3
Écrire « Donc, par composition », puis la limite complète.
Écrire « Donc, par composition », puis la limite complète.
Exemple 1 — Rédaction type
Déterminer :
\[\lim_{x\to+\infty}e^{0,5x}.\]
On écrit :
\[\lim_{x\to+\infty}0,5x=+\infty\]
\[\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty\]
Donc, par composition :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{0,5x}=+\infty.}\]
Rédaction type à retenir
On fait apparaître les deux limites utilisées, avec une nouvelle variable \(X\) pour la fonction extérieure, puis on conclut explicitement « par composition ». C'est cette structure qu'il faut reproduire dans une copie.
Exemple 2 — L'exposant tend vers \(-\infty\)
\[\lim_{x\to+\infty}(-2x+3)=-\infty\]
Or :
\[\lim_{X\to-\infty}e^X=0.\]
Donc, par composition :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-2x+3}=0.}\]
Exemple 3 — Avec une racine carrée
\[\lim_{x\to+\infty}(3x^2+1)=+\infty\]
Or :
\[\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty.\]
Donc, par composition :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{3x^2+1}=+\infty.}\]
Exemple 4 — Composition puis somme
Soit \(f(x)=e^{0,5x}-\dfrac2{x+1}\).
\[\lim_{x\to+\infty}0,5x=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty.\]
Donc, par composition :
\[\lim_{x\to+\infty}e^{0,5x}=+\infty.\]
D'autre part :
\[\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac2{x+1}\right)=0.\]
Donc, par somme :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(e^{0,5x}-\frac2{x+1}\right)=+\infty.}\]
3. À retenir
\[\boxed{\text{limite de l'intérieur}\ \longrightarrow\ \text{limite de l'extérieur}\ \longrightarrow\ \text{« par composition »}}\]
⚠️ Erreurs à éviter
- Donner directement le résultat sans écrire les deux limites intermédiaires.
- Oublier le changement de variable \(X\) pour rendre la composition lisible.
- Oublier la conclusion « Donc, par composition ».
- Confondre ensuite composition et somme, produit ou quotient.
À toi de jouer
Déterminer en rédigeant soigneusement :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-3x+2}}\]
Afficher le corrigé
\[\lim_{x\to+\infty}(-3x+2)=-\infty\]
Or :
\[\lim_{X\to-\infty}e^X=0.\]
Donc, par composition :
\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-3x+2}=0.}\]