MÉTHODE 2

Limite d’un polynôme ou d’une fraction rationnelle

À \(+\infty\) ou \(-\infty\), repérer les termes dominants pour calculer efficacement la limite.

1. Les deux règles essentielles

\[ \boxed{\text{En }+\infty\text{ ou }-\infty,\ \text{un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.}} \]

\[ \boxed{\text{En }+\infty\text{ ou }-\infty,\ \text{un quotient de polynômes a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.}} \]

Ces règles permettent d’aller vite. Mais il faut aussi savoir les justifier par une factorisation.

2. La méthode

Étape 1
Repérer le terme de plus haut degré au numérateur et, s’il y en a un, au dénominateur.

Étape 2
Remplacer mentalement l’expression par son terme dominant ou le quotient de ses termes dominants.

Étape 3
Calculer la limite en faisant particulièrement attention au signe lorsque \(x\to-\infty\).

Exemple 1 — Polynôme en \(+\infty\)

Déterminer :

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(-3x^5+7x^3-2x+4\right). \]

Le terme de plus haut degré est \(-3x^5\). Le polynôme a donc la même limite que ce terme.

\[ \lim_{x\to+\infty}x^5=+\infty \qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{x\to+\infty}(-3x^5)=-\infty. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(-3x^5+7x^3-2x+4\right)=-\infty} \]

Exemple 2 — Polynôme en \(-\infty\)

Déterminer :

\[ \lim_{x\to-\infty}\left(-2x^4+5x^3-7\right). \]

Le terme de plus haut degré est \(-2x^4\). Comme la puissance \(4\) est paire :

\[ \lim_{x\to-\infty}x^4=+\infty. \]

Par produit :

\[ \lim_{x\to-\infty}(-2x^4)=-\infty. \]

Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}\left(-2x^4+5x^3-7\right)=-\infty} \]

Exemple 3 — Fraction rationnelle : même degré

Déterminer :

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{4x^3-2x+1}{5x^3+x^2-6}. \]

Les termes de plus haut degré sont \(4x^3\) et \(5x^3\). La fraction rationnelle a la même limite que leur quotient :

\[ \frac{4x^3}{5x^3}=\frac45. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^3-2x+1}{5x^3+x^2-6}=\frac45} \]

Exemple 4 — Fraction rationnelle : degré du numérateur supérieur

Déterminer :

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{3x^4-5x+2}{2x^2+7x-1}. \]

On utilise les termes de plus haut degré :

\[ \frac{3x^4}{2x^2}=\frac32x^2. \]

Or :

\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty \qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac32x^2=+\infty. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^4-5x+2}{2x^2+7x-1}=+\infty} \]

Exemple 5 — Fraction rationnelle : degré du numérateur inférieur

Déterminer :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2-3x+1}{2x^4+x-7}. \]

Le quotient des termes de plus haut degré est :

\[ \frac{5x^2}{2x^4}=\frac{5}{2x^2}. \]

Comme :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5}{2x^2}=0, \]

on obtient :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2-3x+1}{2x^4+x-7}=0} \]

⚠️ Le piège classique : \(x\to-\infty\)

Le degré ne suffit pas : il faut regarder la parité de la puissance et le signe du coefficient.

\[ x^4\longrightarrow+\infty,\qquad x^5\longrightarrow-\infty \qquad (x\to-\infty). \]

Par exemple :

\[ -2x^4\to-\infty \qquad\text{mais}\qquad -2x^5\to+\infty. \]

3. Réflexe express pour une fraction rationnelle

Si \(P\) et \(Q\) sont des polynômes, compare leurs degrés :

même degré : la limite est le quotient des coefficients dominants ;
degré du numérateur inférieur : la limite est \(0\) ;
degré du numérateur supérieur : on étudie le quotient des termes dominants pour déterminer notamment le signe de l’infini obtenu.

À toi de jouer

Déterminer :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{-6x^5+3x^2-1}{2x^3-4x+7}} \]

Afficher le corrigé

Les termes de plus haut degré sont \(-6x^5\) et \(2x^3\). On étudie leur quotient :

\[ \frac{-6x^5}{2x^3}=-3x^2. \]

Or :

\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}(-3x^2)=-\infty. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{-6x^5+3x^2-1}{2x^3-4x+7}=-\infty} \]