Explorateur de fonctions — Courbes, dérivées et tangentes

Tes fonctions Saisie libre

f(x)

Par exemple : x^3 − 3x, ln(x), sin(x).

g(x)Comparer

Active « Comparer » pour une deuxième courbe.

Comment écrire une formule ?

Puissances : x^2, x^3, x^-1.
Produits : 2x ou 2*x.
Quotients : (x+1)/(x-2).
Fonctions : sqrt(x), cbrt(x), abs(x), exp(x), ln(x), log(x), sin(x), cos(x), tan(x).
Paramètres : a, b, c ; constantes : pi ou π, e.

Angles en radians. ln est le logarithme népérien ; log est le logarithme décimal. Pour une racine cubique réelle, utilise cbrt(x).

Un point de départ Exemples

Faire varier les paramètres a · b · c

Choisis « Transformations » ou ajoute a, b, c à ta formule pour activer les curseurs.

f(x) = x²Tangente en A

TangenteCourbe de f′Quadrillage

Clique pour déplacer A · Glisse pour déplacer la vue · Molette pour zoomer

Valeurs arrondies à six chiffres significatifs.

Régler la fenêtre d’affichage

x minimumx maximumy minimumy maximum

Les bornes acceptent aussi des constantes comme −pi et 2*pi.

Abscisse du point A

Ordonnée f(x_A)1f est positive en A.

Pente f′(x_A)2Pente de la tangente.

Lecture du signe de f′↗ Pente positiveLa courbe monte au voisinage de A.

Tangente en Ay = 2x − 1

Dérivée de ff′(x) = 2x

La formule de f′ s’utilise là où f est définie et dérivable. Une pente nulle ne suffit pas à conclure à un extremum.

Le graphique

Quatre petites explorations

Observe, formule une conjecture, puis ouvre l’explication.

Pour apprendre en manipulant

01 · TANGENTE

Quelle est la pente en x = 1 ?

Pour f(x)=x², place A à l’abscisse 1. Lis sa pente et l’équation de la tangente.

Voir l’explication

f′(x)=2x, donc f′(1)=2. Comme f(1)=1, la tangente a pour équation y=2(x−1)+1, soit y=2x−1.

02 · VARIATIONS

Pente nulle : forcément un extremum ?

Pour f(x)=x³, regarde le point d’abscisse 0, puis les tangentes de chaque côté.

Voir l’explication

f′(x)=3x² est positive pour x≠0 et nulle en 0. La fonction reste strictement croissante sur ℝ. La tangente est horizontale en 0, sans extremum.

03 · PARAMÈTRES

Déplacer une parabole

Dans a(x−b)²+c, fais varier b puis c. Change ensuite le signe de a.

Voir l’explication

Pour a≠0, le sommet est (b ; c). Un b positif déplace le sommet vers la droite ; un c positif le déplace vers le haut. Pour a<0, la parabole s’ouvre vers le bas. Pour a=0, la fonction devient constante.

04 · DOMAINE

Pourquoi deux branches ?

Explore f(x)=1/x de chaque côté de zéro. Peut-on y placer A ?

Voir l’explication

La valeur 0 est interdite. Comme f′(x)=−1/x²<0, la fonction est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[. Ces deux intervalles sont séparés par une valeur où la fonction n’est pas définie.