Une expérience, quelques essais… puis des milliers. Compare les fréquences aux probabilités et découvre ce qui se stabilise quand on répète.
Une expérience = un lancer de la pièce.
La bande sert de repère visuel ; ce n’est pas un intervalle de confiance.
Chaque barre représente une fréquence. Les barres vertes réalisent l’événement choisi ; les traits pointillés montrent la théorie.
À toi de jouer.
Le résultat apparaîtra ici.
20 derniers résultats au maximum · Vert : événement réalisé.
La fréquence est une observation, la probabilité appartient au modèle.
Pour X=1 sur Pile et X=0 sur Face, la moyenne est la fréquence de Pile.
Dans ce modèle, les expériences complètes sont répétées indépendamment, dans les mêmes conditions. La loi des grands nombres explique que, pour un grand nombre d’expériences, la fréquence d’un événement a une forte probabilité d’être proche de sa probabilité théorique.
Elle ne promet ni une progression régulière, ni l’égalité exacte à un instant donné. Une longue suite de Pile ne rend pas Face plus probable au lancer suivant.
Dans l’urne sans remise, les tirages d’une même expérience sont dépendants. On peut néanmoins répéter indépendamment cette expérience complète en reconstituant l’urne au départ.
Simulation numérique · Jusqu’à 200 000 expériences par série
Prédis d’abord, simule ensuite, puis ouvre l’explication.
Avec une pièce équilibrée, compare la fréquence après 10, 100 puis 10 000 lancers. Se rapproche-t-elle toujours de 50 % ?
Les fluctuations relatives ont tendance à diminuer lorsque N grandit, mais la fréquence peut encore s’éloigner temporairement de 50 %. La loi des grands nombres décrit un comportement probabiliste, sans imposer une convergence monotone.
Pour n=10 et p=0,3, prédis P(X=3). Compare la probabilité à la fréquence de cet événement.
P(X=3)=120×0,3³×0,7⁷≈0,2668, soit environ 26,68 %. L’espérance vaut np=3, mais cela ne signifie pas qu’on obtient toujours trois succès.
Une urne contient 3 boules bleues et 7 rouges. Quelle est la probabilité de tirer deux bleues en deux tirages ?
Avec remise : (3/10)²=9 %. Sans remise : (3/10)×(2/9)=1/15≈6,67 %. Après une première boule bleue, la probabilité d’en tirer une deuxième diminue si on ne remet pas la première.
Après 10 pas équiprobables à gauche ou à droite, observe les retours en zéro. Puis essaie avec 11 pas.
Après 10 pas, il faut exactement 5 pas à droite et 5 à gauche : P(S=0)=252/1024≈24,61 %. Après 11 pas, le retour en zéro est impossible : la position finale est forcément impaire.