Objectif : connaître les limites usuelles et savoir les reconnaître immédiatement. Essaie de répondre mentalement avant d'afficher la correction.
Puissance
Déterminer la limite suivante :
\[
\lim_{x\to-\infty}x^4
\]
Afficher la correction
Une puissance paire est positive. Lorsque \(x\to-\infty\), la valeur absolue de \(x\) devient arbitrairement grande.
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}x^4=+\infty}
\]
Puissance impaire
Déterminer la limite suivante :
\[
\lim_{x\to-\infty}x^5
\]
Afficher la correction
Une puissance impaire conserve le signe de \(x\). Ainsi, lorsque \(x\to-\infty\), \(x^5\) devient négatif avec une valeur absolue arbitrairement grande.
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}x^5=-\infty}
\]
Fonction inverse
Déterminer la limite suivante :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^3}
\]
Afficher la correction
On utilise la limite usuelle de l'inverse d'une puissance de \(x\) à l'infini.
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^3}=0}
\]
Exponentielle
Déterminer la limite suivante :
\[
\lim_{x\to-\infty}e^x
\]
Afficher la correction
La fonction exponentielle admet pour limite \(0\) lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\).
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}e^x=0}
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty
\qquad(n\in\mathbb N^*)
\]
\[
\lim_{x\to-\infty}x^{2n}=+\infty
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to-\infty}x^{2n+1}=-\infty
\]
\[
\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^n}=0
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to-\infty}e^x=0
\]