QUESTIONS FLASH — SÉRIE 10

Signe de \(f'\), variations et extremums

4 questions • De la dérivée au comportement de la fonction

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Objectif : exploiter le signe de \(f'\) pour déterminer le sens de variation d'une fonction et identifier ses extremums.
1

Lire le signe de \(f'\)

On sait que :

\[ f'(x)=3(x+2)(x-4). \]

Sur quels intervalles la fonction \(f\) est-elle croissante ? décroissante ?

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Comme \(3>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((x+2)(x-4)\).

\[ f'(x)>0\quad\text{si }x\lt -2\text{ ou }x>4, \]
\[ f'(x)\lt 0\quad\text{si }-2\lt x\lt 4. \]

Donc :

Donc :

\[ f\text{ est croissante sur }]-\infty;-2]\text{ et sur }[4;+\infty[ \]
\[ f\text{ est décroissante sur }[-2;4]. \]
2

Reconnaître un extremum

On sait que \(f'(3)=0\), que \(f'(x)>0\) pour \(x\lt 3\) et que \(f'(x)<0\) pour \(x>3\).

Que peut-on dire de \(f\) en \(x=3\) ?

Afficher la correction

La fonction est croissante avant \(3\), puis décroissante après \(3\).

\[ +\quad\longrightarrow\quad0\quad\longrightarrow\quad- \]

La fonction atteint donc un maximum en \(x=3\).

\[ \boxed{f(3)\text{ est un maximum de }f.} \]
3

Exponentielle et signe

Soit :

\[ g(x)=e^{2x}(x-1). \]

On admet que :

\[ g'(x)=e^{2x}(2x-1). \]

Déterminer le sens de variation de \(g\).

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Pour tout réel \(x\) :

\[ e^{2x}>0. \]

Le signe de \(g'(x)\) est donc celui de \(2x-1\).

\[ 2x-1\lt 0\iff x\lt\frac12, \qquad 2x-1>0\iff x>\frac12. \]

Ainsi :

\[ \boxed{g\text{ est décroissante sur }]-\infty,\tfrac12] \text{ puis croissante sur }[\tfrac12,+\infty[.} \]

La fonction \(g\) admet donc un minimum en \(x=\frac12\).

4

Étude complète

Soit :

\[ h(x)=x^3-3x^2-9x+5. \]

Déterminer \(h'(x)\), étudier son signe, puis en déduire les variations et les extremums de \(h\).

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On dérive :

\[ h'(x)=3x^2-6x-9. \]

On factorise :

\[ h'(x)=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3). \]

Donc :

\[ h'(x)>0\text{ sur }]-\infty,-1[\cup]3,+\infty[ \]

et :

\[ h'(x)\lt 0\text{ sur }]-1,3[. \]

Ainsi, \(h\) est croissante puis décroissante puis croissante.

Calculons les valeurs aux changements de variation :

\[ h(-1)=-1-3+9+5=10, \]
\[ h(3)=27-27-27+5=-22. \]

On en déduit :

\[ \boxed{h(-1)=10\text{ est un maximum local.}} \]
\[ \boxed{h(3)=-22\text{ est un minimum local.}} \]
La chaîne de raisonnement à retenir
\[ \boxed{f(x)\ \longrightarrow\ f'(x)\ \longrightarrow\ \text{signe de }f'(x)\ \longrightarrow\ \text{variations de }f} \]

Si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), \(f\) admet un maximum local.

Si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\), \(f\) admet un minimum local.

Attention : l'égalité \(f'(a)=0\) ne suffit pas, à elle seule, à affirmer que \(f\) possède un extremum en \(a\). Il faut étudier le signe de \(f'\) de part et d'autre de \(a\).