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Objectif : déterminer rapidement une limite en utilisant les règles opératoires et repérer lorsqu'une forme indéterminée apparaît.
1Somme
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(3x^2+\frac{2}{x}\right).
\]
Afficher la correction
\[
\lim_{x\to+\infty}3x^2=+\infty
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}\frac2x=0.
\]
Donc, par somme :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(3x^2+\frac2x\right)=+\infty.}
\]
Produit
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}(2x-1)(x^2+3).
\]
Afficher la correction
\[
\lim_{x\to-\infty}(2x-1)=-\infty
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to-\infty}(x^2+3)=+\infty.
\]
Le produit d'une quantité tendant vers \(-\infty\) par une quantité tendant vers \(+\infty\) tend vers \(-\infty\).
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}(2x-1)(x^2+3)=-\infty.}
\]
Quotient
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+1}{x^2+4}.
\]
Afficher la correction
On factorise par les termes de plus haut degré :
\[
\frac{5x+1}{x^2+4}
=
\frac{x\left(5+\frac1x\right)}
{x^2\left(1+\frac4{x^2}\right)}
=
\frac{5+\frac1x}{x\left(1+\frac4{x^2}\right)}.
\]
Le numérateur tend vers \(5\) et le dénominateur vers \(+\infty\).
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+1}{x^2+4}=0.}
\]
Piège : forme indéterminée
Peut-on conclure directement pour :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-3x\right)\ ?
\]
Afficher la correction
\[
\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}(-3x)=-\infty.
\]
On obtient donc la forme :
\[
+\infty-\infty,
\]
qui est une forme indéterminée. On ne peut pas conclure directement avec la règle sur les sommes.
Pour lever l'indétermination, on peut factoriser :
\[
x^2-3x=x(x-3).
\]
Lorsque \(x\to+\infty\), les deux facteurs tendent vers \(+\infty\). Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(x^2-3x)=+\infty.}
\]
Le réflexe à avoir
Avant d'appliquer une règle opératoire, regarder les limites de chaque terme. Si l'on rencontre notamment
\[
\boxed{\infty-\infty}
\qquad
\boxed{\frac{\infty}{\infty}}
\qquad
\boxed{\frac00},
\]
on rencontre une forme indéterminée : il faut transformer l'expression avant de conclure.