Objectif : repérer les termes de plus haut degré et déterminer rapidement le comportement d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle à l'infini.
Polynôme en \(+\infty\)
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(-3x^4+7x^2-2x+5\right).
\]
Afficher la correction
À l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
\[
\lim_{x\to+\infty}(-3x^4)=-\infty.
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(-3x^4+7x^2-2x+5\right)=-\infty.}
\]
Attention à \(-\infty\)
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}\left(-2x^3+5x^2-7\right).
\]
Afficher la correction
Le terme de plus haut degré est \(-2x^3\).
\[
x^3\longrightarrow-\infty
\quad\Longrightarrow\quad
-2x^3\longrightarrow+\infty.
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}\left(-2x^3+5x^2-7\right)=+\infty.}
\]
Même degré
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3-2x+1}{2x^3+5x^2-7}.
\]
Afficher la correction
Le numérateur et le dénominateur sont de même degré. La limite est celle du quotient des termes dominants :
\[
\frac{4x^3}{2x^3}=2.
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3-2x+1}{2x^3+5x^2-7}=2.}
\]
Degrés différents
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^4-x+2}{-2x^2+5}.
\]
Afficher la correction
À l'infini, le quotient a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré :
\[
\frac{3x^4}{-2x^2}=-\frac32x^2.
\]
Or :
\[
\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty.
\]
Donc :
\[
\lim_{x\to-\infty}\left(-\frac32x^2\right)=-\infty.
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^4-x+2}{-2x^2+5}=-\infty.}
\]
À \(+\infty\) ou \(-\infty\) :
\[
\boxed{\text{polynôme}\ \longrightarrow\ \text{terme de plus haut degré}}
\]
\[
\boxed{\text{fraction rationnelle}\ \longrightarrow\
\frac{\text{terme dominant du numérateur}}
{\text{terme dominant du dénominateur}}}
\]
Mais attention : il faut ensuite déterminer correctement le signe, notamment lorsque \(x\to-\infty\).