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Objectif : reconnaître une forme indéterminée et choisir rapidement une transformation adaptée : factorisation, termes dominants ou quantité conjuguée.
1Factorisation
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}(2x^3-5x^2+1).
\]
Afficher la correction
Une lecture terme à terme conduit à la forme indéterminée \(+\infty-\infty\).
On factorise par \(x^3\) :
\[
2x^3-5x^2+1=x^3\left(2-\frac5x+\frac1{x^3}\right).
\]
Or :
\[
\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty
\quad\text{et}\quad
\lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac5x+\frac1{x^3}\right)=2.
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(2x^3-5x^2+1)=+\infty.}
\]
Quotient \(\infty/\infty\)
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+4}{5x^2+2x-1}.
\]
Afficher la correction
Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : on obtient la forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\).
On divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) :
\[
\frac{3-\frac1x+\frac4{x^2}}
{5+\frac2x-\frac1{x^2}}.
\]
Chaque terme en \(1/x\) ou \(1/x^2\) tend vers \(0\).
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+4}{5x^2+2x-1}=\frac35.}
\]
Quotient \(0/0\)
Déterminer :
\[
\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}.
\]
Afficher la correction
Par substitution directe, le quotient est de la forme \(\frac00\).
On utilise l'identité remarquable :
\[
x^2-4=(x-2)(x+2).
\]
Pour \(x\neq2\) :
\[
\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4.}
\]
Quantité conjuguée
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right).
\]
Afficher la correction
L'expression est de la forme \(+\infty-\infty\). On multiplie par la quantité conjuguée :
\[
\sqrt{x^2+4x}-x
=
\frac{(\sqrt{x^2+4x}-x)(\sqrt{x^2+4x}+x)}
{\sqrt{x^2+4x}+x}.
\]
Au numérateur :
\[
(x^2+4x)-x^2=4x.
\]
Donc :
\[
\sqrt{x^2+4x}-x
=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}.
\]
Pour \(x>0\), \(\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac4x}\). Ainsi :
\[
\frac{4x}{x\sqrt{1+\frac4x}+x}
=
\frac4{\sqrt{1+\frac4x}+1}.
\]
Calculons maintenant précisément la limite du dénominateur.
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac4x=0.
\]
Donc, par somme :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac4x\right)=1.
\]
Or :
\[
\lim_{X\to1}\sqrt{X}=1.
\]
Donc, par composition :
\[
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac4x}=1.
\]
Par somme :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{1+\frac4x}+1\right)=2.
\]
Enfin, par quotient :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)
=\lim_{x\to+\infty}\frac4{\sqrt{1+\frac4x}+1}=2.}
\]
Quel outil choisir ?
\[
\boxed{\infty-\infty\ \longrightarrow\ \text{factoriser ou utiliser un conjugué}}
\]
\[
\boxed{\frac{\infty}{\infty}\ \longrightarrow\ \text{factoriser/diviser par la plus grande puissance}}
\]
\[
\boxed{\frac00\ \longrightarrow\ \text{factoriser puis simplifier, si possible}}
\]
Une forme indéterminée n'est pas une réponse : elle indique qu'il faut transformer l'expression.