QUESTIONS FLASH — SÉRIE 5

Limites en un réel

4 questions • Limites à gauche, à droite et asymptotes verticales

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Objectif : étudier le signe d'une expression lorsque \(x\) s'approche d'une valeur interdite, distinguer \(a^-\) et \(a^+\), puis interpréter graphiquement une limite infinie.
1

À droite

Déterminer :

\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}. \]
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Lorsque \(x\to2^+\), on a :

\[ x-2\to0^+. \]

Le numérateur vaut \(1>0\). Le quotient d'un nombre strictement positif par un nombre positif qui tend vers \(0\) devient arbitrairement grand.

\[ \boxed{\lim_{x\to2^+}\frac1{x-2}=+\infty.} \]
2

À gauche

Déterminer :

\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}. \]
Afficher la correction

Lorsque \(x\to2^-\), on a :

\[ x-2\to0^-. \]

Le numérateur vaut \(1>0\). Le quotient est donc négatif et sa valeur absolue devient arbitrairement grande.

\[ \boxed{\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}=-\infty.} \]
3

Étude du signe

Déterminer :

\[ \lim_{x\to3^-}\frac{2x+1}{x-3}. \]
Afficher la correction

On étudie séparément le numérateur et le dénominateur.

\[ \lim_{x\to3^-}(2x+1)=7>0 \]

et, puisque \(x<3\) :

\[ x-3<0 \qquad\text{et}\qquad x-3\to0^-. \]

On a donc un nombre positif proche de \(7\) divisé par un nombre négatif qui tend vers \(0\).

\[ \boxed{\lim_{x\to3^-}\frac{2x+1}{x-3}=-\infty.} \]
4

Deux côtés

Déterminer les deux limites puis donner une interprétation graphique :

\[ f(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2}. \]
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to1^+}f(x). \]
Afficher la correction

Lorsque \(x\to1\) :

\[ x+2\to3>0. \]

De plus, de part et d'autre de \(1\),

\[ (x-1)^2>0 \qquad\text{et}\qquad (x-1)^2\to0^+. \]

Par quotient :

\[ \boxed{\lim_{x\to1^-}\frac{x+2}{(x-1)^2}=+\infty} \]
\[ \boxed{\lim_{x\to1^+}\frac{x+2}{(x-1)^2}=+\infty} \]

Interprétation graphique : la droite d'équation

\[ \boxed{x=1} \]

est une asymptote verticale à la courbe représentative de \(f\).

Le réflexe indispensable

Pour une limite en un réel \(a\) avec un dénominateur qui tend vers \(0\) :

\[ \boxed{\text{1. déterminer le signe du numérateur}} \]
\[ \boxed{\text{2. déterminer si le dénominateur tend vers }0^+\text{ ou }0^-} \]
\[ \boxed{\text{3. en déduire }+\infty\text{ ou }-\infty} \]

Et si une limite infinie apparaît lorsque \(x\to a\), penser immédiatement à la droite \(x=a\) comme asymptote verticale.