QUESTIONS FLASH — SÉRIE 6

Asymptotes

4 questions • Passer des limites à l'interprétation graphique

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Objectif : reconnaître une asymptote verticale ou horizontale à partir d'une limite, et savoir retrouver la limite correspondant à une information graphique.
1

Asymptote verticale

On sait que :

\[ \lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty. \]

Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de \(f\) ?

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La fonction devient arbitrairement grande lorsque \(x\) se rapproche de \(-2\) par valeurs supérieures.

\[ \boxed{\text{La droite d'équation }x=-2\text{ est une asymptote verticale.}} \]
2

Asymptote horizontale

On sait que :

\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=-3. \]

Quelle asymptote peut-on en déduire ?

Afficher la correction

Lorsque \(x\to+\infty\), les ordonnées des points de la courbe se rapprochent de \(-3\).

\[ \boxed{\text{La droite d'équation }y=-3\text{ est une asymptote horizontale en }+\infty.} \]
3

Calcul puis interprétation

Soit :

\[ h(x)=\frac{3x-1}{x+2}. \]

Déterminer la limite de \(h\) en \(+\infty\), puis en déduire une asymptote.

Afficher la correction

Le numérateur et le dénominateur sont de même degré. À l'infini, le quotient a la même limite que le quotient des termes dominants :

\[ \frac{3x}{x}=3. \]

Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{3x-1}{x+2}=3.} \]

On en déduit :

\[ \boxed{\text{La droite }y=3\text{ est une asymptote horizontale en }+\infty.} \]
4

Retrouver les limites

La courbe représentative d'une fonction \(f\) admet :

• la droite \(x=4\) comme asymptote verticale, avec la courbe qui monte vers \(+\infty\) des deux côtés ;

• la droite \(y=-2\) comme asymptote horizontale lorsque \(x\to-\infty\).

Écrire les trois limites correspondantes.

Afficher la correction

À gauche de l'asymptote verticale :

\[ \boxed{\lim_{x\to4^-}f(x)=+\infty.} \]

À droite de l'asymptote verticale :

\[ \boxed{\lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty.} \]

Pour l'asymptote horizontale en \(-\infty\) :

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2.} \]
À retenir
\[ \boxed{\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty \Longrightarrow x=a\text{ asymptote verticale}} \]
\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell \Longrightarrow y=\ell\text{ asymptote horizontale en }+\infty} \]
\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell \Longrightarrow y=\ell\text{ asymptote horizontale en }-\infty} \]

Attention : une asymptote horizontale peut n'exister que d'un seul côté, en \(+\infty\) ou en \(-\infty\).