Objectif : rédiger correctement un calcul de limite par composition : limite de l'expression intérieure, limite de la fonction extérieure avec une nouvelle variable \(X\), puis conclusion par composition.
Exponentielle
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}e^{-2x+3}.
\]
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On commence par l'expression intérieure :
\[
\lim_{x\to+\infty}(-2x+3)=-\infty.
\]
Or :
\[
\lim_{X\to-\infty}e^X=0.
\]
Donc, par composition :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-2x+3}=0.}
\]
Racine carrée
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{3x^2+1}.
\]
Afficher la correction
On a :
\[
\lim_{x\to+\infty}(3x^2+1)=+\infty.
\]
Or :
\[
\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty.
\]
Donc, par composition :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{3x^2+1}=+\infty.}
\]
Composition puis somme
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(e^{-x}+\frac{3}{x+1}\right).
\]
Afficher la correction
Pour le premier terme :
\[
\lim_{x\to+\infty}(-x)=-\infty.
\]
Or :
\[
\lim_{X\to-\infty}e^X=0.
\]
Donc, par composition :
\[
\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0.
\]
D'autre part :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x+1}=0.
\]
Donc, par somme :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(e^{-x}+\frac{3}{x+1}\right)=0.}
\]
Composition puis quotient
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{5}{1+e^{-3x}}.
\]
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On étudie d'abord l'exponentielle :
\[
\lim_{x\to+\infty}(-3x)=-\infty.
\]
Or :
\[
\lim_{X\to-\infty}e^X=0.
\]
Donc, par composition :
\[
\lim_{x\to+\infty}e^{-3x}=0.
\]
Puis, par somme :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(1+e^{-3x}\right)=1.
\]
Le dénominateur tend vers \(1\neq0\). Donc, par quotient :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{5}{1+e^{-3x}}=5.}
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to a}u(x)=b}
\]
\[
\boxed{\lim_{X\to b}f(X)=\ell}
\]
Alors :
\[
\boxed{\text{Donc, par composition : }\lim_{x\to a}f(u(x))=\ell.}
\]
Si l'expression contient ensuite une somme, un produit ou un quotient, on calcule les autres limites séparément avant d'appliquer la règle opératoire correspondante.