Objectif : choisir le bon théorème et construire une comparaison efficace. Ici, le raisonnement compte autant que le calcul.
Théorème des gendarmes
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}.
\]
Afficher la correction
Pour tout réel \(x\),
\[-1\leq \sin x\leq1.\]
Pour \(x>0\), on peut diviser par \(x\) sans changer le sens des inégalités :
\[
-\frac1x\leq\frac{\sin x}{x}\leq\frac1x.
\]
Or :
\[
\lim_{x\to+\infty}-\frac1x=0
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0.
\]
D'après le théorème des gendarmes :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0.}
\]
Comparer vers \(+\infty\)
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-8x\sin x\right).
\]
Afficher la correction
Comme \(\sin x\leq1\), on a :
\[
-8x\sin x\geq-8x
\qquad (x>0).
\]
Donc :
\[
x^2-8x\sin x\geq x^2-8x.
\]
Or :
\[
\lim_{x\to+\infty}(x^2-8x)=+\infty.
\]
D'après le théorème de comparaison :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(x^2-8x\sin x\right)=+\infty.}
\]
Comparer vers \(-\infty\)
Déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}\left(3x^5+8x^4\cos x\right).
\]
Afficher la correction
Comme \(\cos x\leq1\) et \(8x^4\geq0\),
\[
8x^4\cos x\leq8x^4.
\]
Ainsi :
\[
3x^5+8x^4\cos x\leq3x^5+8x^4.
\]
Or :
\[
3x^5+8x^4=x^4(3x+8).
\]
Lorsque \(x\to-\infty\),
\[
x^4\to+\infty
\qquad\text{et}\qquad
3x+8\to-\infty,
\]
donc :
\[
\lim_{x\to-\infty}(3x^5+8x^4)=-\infty.
\]
D'après le théorème de comparaison :
\[
\boxed{\lim_{x\to-\infty}\left(3x^5+8x^4\cos x\right)=-\infty.}
\]
Construire l'encadrement
Déterminer :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\cos x}{x}.
\]
Afficher la correction
On sait que :
\[-1\leq\cos x\leq1.\]
En ajoutant \(2\) :
\[
1\leq2+\cos x\leq3.
\]
Pour \(x>0\), on divise par \(x\) :
\[
\frac1x\leq\frac{2+\cos x}{x}\leq\frac3x.
\]
Or :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}\frac3x=0.
\]
D'après le théorème des gendarmes :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\cos x}{x}=0.}
\]
Gendarmes : on encadre une fonction entre deux fonctions qui ont la même limite finie.
\[
g(x)\leq f(x)\leq h(x),\qquad
\lim g=\lim h=\ell
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\lim f=\ell}.
\]
Comparaison vers \(+\infty\) :
\[
f(x)\leq g(x),\qquad \lim f(x)=+\infty
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\lim g(x)=+\infty}.
\]
Comparaison vers \(-\infty\) :
\[
f(x)\leq g(x),\qquad \lim g(x)=-\infty
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\lim f(x)=-\infty}.
\]