Objectif : automatiser les dérivées de fonctions composées sans oublier la dérivée \(u'\) de la fonction intérieure.
Exponentielle
Soit :
\[f(x)=e^{3x-2}.\]
Déterminer \(f'(x)\).
Afficher la correction
On pose \(u(x)=3x-2\). Alors :
\[u'(x)=3.\]
On utilise :
\[(e^u)'=u'e^u.\]
Donc :
\[
\boxed{f'(x)=3e^{3x-2}.}
\]
Puissance
Soit :
\[g(x)=(2x+5)^4.\]
Déterminer \(g'(x)\).
Afficher la correction
On pose \(u(x)=2x+5\). Alors :
\[u'(x)=2.\]
On utilise :
\[(u^n)'=n\,u'u^{\,n-1}.\]
Ainsi :
\[
g'(x)=4\times2(2x+5)^3.
\]
\[
\boxed{g'(x)=8(2x+5)^3.}
\]
Racine carrée
Soit :
\[h(x)=\sqrt{x^2+4x+7}.\]
Déterminer \(h'(x)\).
Afficher la correction
On pose :
\[u(x)=x^2+4x+7.\]
Alors :
\[u'(x)=2x+4.\]
On utilise :
\[
(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}.
\]
Donc :
\[
h'(x)=\frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+7}}.
\]
Après simplification :
\[
\boxed{h'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+7}}.}
\]
Deux règles à combiner
Soit :
\[k(x)=x\,e^{-x^2}.\]
Déterminer \(k'(x)\) et factoriser le résultat.
Afficher la correction
Il s'agit d'un produit :
\[
k(x)=x\times e^{-x^2}.
\]
Pour l'exponentielle, on pose \(u(x)=-x^2\), donc :
\[
u'(x)=-2x.
\]
Ainsi :
\[
(e^{-x^2})'=-2x\,e^{-x^2}.
\]
Avec la formule \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[
k'(x)=1\times e^{-x^2}
+x\left(-2x\,e^{-x^2}\right).
\]
Donc :
\[
k'(x)=e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2}.
\]
On factorise par \(e^{-x^2}\) :
\[
\boxed{k'(x)=e^{-x^2}(1-2x^2).}
\]
\[
\boxed{(e^u)'=u'e^u}
\qquad
\boxed{(u^n)'=n\,u'u^{n-1}}
\qquad
\boxed{(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}}
\]
Réflexe : avant de dériver, repérer la fonction intérieure \(u\) et écrire \(u'\). Dans une expression plus complexe, ces formules peuvent ensuite se combiner avec les règles du produit ou du quotient.