Objectif : choisir la bonne méthode de calcul d'une limite : composition, quantité conjuguée, encadrement ou comparaison.
Le problème
Pour \(x>0\), on considère
\[ f(x)=\sqrt{x^2+10x}-x. \]- Expliquer pourquoi un calcul direct de la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\to+\infty\) conduit à une forme indéterminée.
- Montrer que, pour tout \(x>0\), \[ f(x)=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{10}x}+1}. \]
- Déterminer \[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{10}x\right). \]
- En utilisant une composition de limites, déterminer \[ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{10}x}. \]
- En déduire \[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]
- Montrer que, pour tout \(x>0\),
\[
0
- On considère maintenant \[ g(x)=x^2-9x\sin x. \] Montrer que, pour tout \(x>0\), \[ g(x)\geq x^2-9x. \]
- Déterminer la limite de \(x^2-9x\) lorsque \(x\to+\infty\), puis en déduire la limite de \(g(x)\).
- Enfin, déterminer \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}. \] On justifiera soigneusement le théorème utilisé.
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1. Identifier l'indétermination
Lorsque \(x\to+\infty\), \[ \sqrt{x^2+10x}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad x\to+\infty. \] Ainsi, l'expression conduit à la forme \[ \boxed{+\infty-\infty}, \] qui est indéterminée.
Lorsque \(x\to+\infty\), \[ \sqrt{x^2+10x}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad x\to+\infty. \] Ainsi, l'expression conduit à la forme \[ \boxed{+\infty-\infty}, \] qui est indéterminée.
2. Utiliser la quantité conjuguée
\[
f(x)=\sqrt{x^2+10x}-x.
\]
On multiplie par la quantité conjuguée :
\[
f(x)=\frac{(\sqrt{x^2+10x}-x)(\sqrt{x^2+10x}+x)}
{\sqrt{x^2+10x}+x}
=\frac{10x}{\sqrt{x^2+10x}+x}.
\]
Comme \(x>0\),
\[
\sqrt{x^2+10x}=x\sqrt{1+\frac{10}x}.
\]
Donc
\[
f(x)=\frac{10x}{x\sqrt{1+\frac{10}x}+x}
=\boxed{\frac{10}{\sqrt{1+\frac{10}x}+1}}.
\]
3. Limite de la fonction intérieure
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{10}x=0.
\]
Donc, par somme,
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{10}x\right)=1}.
\]
4. Composition
On vient d'obtenir \[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{10}x\right)=1. \] D'autre part, \[ \lim_{X\to1}\sqrt X=1. \] Donc, par composition : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{10}x}=1}. \]
On vient d'obtenir \[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{10}x\right)=1. \] D'autre part, \[ \lim_{X\to1}\sqrt X=1. \] Donc, par composition : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{10}x}=1}. \]
5. Limite de \(f\)
Par somme, \[ \sqrt{1+\frac{10}x}+1\to2. \] Le dénominateur tend vers \(2\neq0\). Donc, par quotient : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=5}. \]
Par somme, \[ \sqrt{1+\frac{10}x}+1\to2. \] Le dénominateur tend vers \(2\neq0\). Donc, par quotient : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=5}. \]
6. Encadrement de \(f\)
Pour \(x>0\), \[ 1+\frac{10}x>1, \] donc \[ \sqrt{1+\frac{10}x}>1. \] Ainsi \[ \sqrt{1+\frac{10}x}+1>2. \] Comme le numérateur vaut \(10>0\), \[ 0<\frac{10}{\sqrt{1+\frac{10}x}+1}<5. \] Donc \[ \boxed{0
Pour \(x>0\), \[ 1+\frac{10}x>1, \] donc \[ \sqrt{1+\frac{10}x}>1. \] Ainsi \[ \sqrt{1+\frac{10}x}+1>2. \] Comme le numérateur vaut \(10>0\), \[ 0<\frac{10}{\sqrt{1+\frac{10}x}+1}<5. \] Donc \[ \boxed{0
7. Préparer une comparaison
On sait que \[ -1\leq\sin x\leq1. \] Pour \(x>0\), on a \[ -9x\sin x\geq-9x. \] En ajoutant \(x^2\) : \[ \boxed{x^2-9x\sin x\geq x^2-9x}. \]
On sait que \[ -1\leq\sin x\leq1. \] Pour \(x>0\), on a \[ -9x\sin x\geq-9x. \] En ajoutant \(x^2\) : \[ \boxed{x^2-9x\sin x\geq x^2-9x}. \]
8. Théorème de comparaison
\[
x^2-9x=x(x-9).
\]
Lorsque \(x\to+\infty\), les deux facteurs tendent vers \(+\infty\). Donc :
\[
\lim_{x\to+\infty}(x^2-9x)=+\infty.
\]
Comme
\[
g(x)\geq x^2-9x,
\]
le théorème de comparaison donne :
\[
\boxed{\lim_{x\to+\infty}(x^2-9x\sin x)=+\infty}.
\]
9. Théorème des gendarmes
Comme \[ -1\leq\sin x\leq1, \] pour \(x>0\), \[ -\frac1x\leq\frac{\sin x}{x}\leq\frac1x. \] Or \[ \lim_{x\to+\infty}-\frac1x=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. \] D'après le théorème des gendarmes : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0}. \]
Comme \[ -1\leq\sin x\leq1, \] pour \(x>0\), \[ -\frac1x\leq\frac{\sin x}{x}\leq\frac1x. \] Or \[ \lim_{x\to+\infty}-\frac1x=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. \] D'après le théorème des gendarmes : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0}. \]