Objectif : conduire une étude complète de fonction en mobilisant plusieurs compétences du chapitre dans un même problème de niveau Terminale spécialité.
Le problème
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par
\[ f(x)=(2x+3)e^{-x}. \]On note \(\mathcal C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
- Déterminer \[ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}. \]
- On admet que \[ \lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0. \] En déduire \[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \] Donner une interprétation graphique du résultat.
- Déterminer \[ \lim_{x\to-\infty}f(x). \]
- Montrer que, pour tout réel \(x\), \[ f'(x)=-(2x+1)e^{-x}. \]
- Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb R\).
- En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb R\).
- Montrer que \(f\) admet un maximum sur \(\mathbb R\). Préciser l'abscisse du point où ce maximum est atteint et sa valeur exacte.
- Déterminer l'équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal C_f\) au point d'abscisse \(0\).
- Résoudre dans \(\mathbb R\) l'équation \[ f(x)=0. \] En déduire les coordonnées du point d'intersection de \(\mathcal C_f\) avec l'axe des abscisses.
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1. Première limite
Lorsque \(x\to+\infty\), \[ -x\to-\infty. \] Or \[ \lim_{X\to-\infty}e^X=0. \] Donc, par composition : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0}. \]
Lorsque \(x\to+\infty\), \[ -x\to-\infty. \] Or \[ \lim_{X\to-\infty}e^X=0. \] Donc, par composition : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0}. \]
2. Limite de \(f\) en \(+\infty\)
On écrit \[ f(x)=2xe^{-x}+3e^{-x}. \] On admet que \[ \lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0 \] et, d'après la question précédente, \[ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0. \] Donc, par somme : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}(2x+3)e^{-x}=0}. \] Ainsi, la droite \[ \boxed{y=0} \] est une asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty\).
On écrit \[ f(x)=2xe^{-x}+3e^{-x}. \] On admet que \[ \lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0 \] et, d'après la question précédente, \[ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0. \] Donc, par somme : \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}(2x+3)e^{-x}=0}. \] Ainsi, la droite \[ \boxed{y=0} \] est une asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty\).
3. Limite en \(-\infty\)
Lorsque \(x\to-\infty\), \[ 2x+3\to-\infty \] et \[ -x\to+\infty, \] donc \[ e^{-x}\to+\infty. \] Les deux facteurs ont alors pour limites respectives \(-\infty\) et \(+\infty\). Par produit : \[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}(2x+3)e^{-x}=-\infty}. \]
Lorsque \(x\to-\infty\), \[ 2x+3\to-\infty \] et \[ -x\to+\infty, \] donc \[ e^{-x}\to+\infty. \] Les deux facteurs ont alors pour limites respectives \(-\infty\) et \(+\infty\). Par produit : \[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}(2x+3)e^{-x}=-\infty}. \]
4. Calcul de la dérivée
On pose \[ u(x)=2x+3 \qquad\text{et}\qquad v(x)=e^{-x}. \] Alors \[ u'(x)=2 \] et, puisque \((e^u)'=u'e^u\), \[ v'(x)=-e^{-x}. \] Par la formule du produit : \[ f'(x)=2e^{-x}-(2x+3)e^{-x}. \] Ainsi : \[ f'(x)=(-2x-1)e^{-x}, \] soit \[ \boxed{f'(x)=-(2x+1)e^{-x}}. \]
On pose \[ u(x)=2x+3 \qquad\text{et}\qquad v(x)=e^{-x}. \] Alors \[ u'(x)=2 \] et, puisque \((e^u)'=u'e^u\), \[ v'(x)=-e^{-x}. \] Par la formule du produit : \[ f'(x)=2e^{-x}-(2x+3)e^{-x}. \] Ainsi : \[ f'(x)=(-2x-1)e^{-x}, \] soit \[ \boxed{f'(x)=-(2x+1)e^{-x}}. \]
5. Signe de \(f'(x)\)
Pour tout réel \(x\), \[ e^{-x}>0. \] Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \[ -(2x+1). \] Or \[ 2x+1=0 \iff x=-\frac12. \] Ainsi : \[ f'(x)>0\quad\text{si}\quad x<-\frac12, \] \[ f'\left(-\frac12\right)=0, \] et \[ f'(x)<0\quad\text{si}\quad x>-\frac12. \]
Pour tout réel \(x\), \[ e^{-x}>0. \] Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \[ -(2x+1). \] Or \[ 2x+1=0 \iff x=-\frac12. \] Ainsi : \[ f'(x)>0\quad\text{si}\quad x<-\frac12, \] \[ f'\left(-\frac12\right)=0, \] et \[ f'(x)<0\quad\text{si}\quad x>-\frac12. \]
6. Variations de \(f\)
La fonction \(f\) est donc :
La fonction \(f\) est donc :
- strictement croissante sur \(]-\infty,-\frac12]\) ;
- strictement décroissante sur \([-\frac12,+\infty[\).
7. Maximum
Le signe de la dérivée passe de \(+\) à \(-\) en \[ x=-\frac12. \] La fonction admet donc un maximum en \(x=-\frac12\). Calculons sa valeur : \[ f\left(-\frac12\right) = \left(2\times\left(-\frac12\right)+3\right)e^{1/2}. \] Ainsi : \[ f\left(-\frac12\right)=2e^{1/2}=2\sqrt e. \] Donc : \[ \boxed{\max_{\mathbb R}f=2\sqrt e}. \]
Le signe de la dérivée passe de \(+\) à \(-\) en \[ x=-\frac12. \] La fonction admet donc un maximum en \(x=-\frac12\). Calculons sa valeur : \[ f\left(-\frac12\right) = \left(2\times\left(-\frac12\right)+3\right)e^{1/2}. \] Ainsi : \[ f\left(-\frac12\right)=2e^{1/2}=2\sqrt e. \] Donc : \[ \boxed{\max_{\mathbb R}f=2\sqrt e}. \]
8. Tangente au point d'abscisse \(0\)
On calcule : \[ f(0)=3 \] et \[ f'(0)=-(2\times0+1)e^0=-1. \] L'équation de la tangente au point d'abscisse \(0\) est \[ y=f'(0)(x-0)+f(0). \] Donc : \[ \boxed{T:y=-x+3}. \]
On calcule : \[ f(0)=3 \] et \[ f'(0)=-(2\times0+1)e^0=-1. \] L'équation de la tangente au point d'abscisse \(0\) est \[ y=f'(0)(x-0)+f(0). \] Donc : \[ \boxed{T:y=-x+3}. \]
9. Intersection avec l'axe des abscisses
On résout : \[ (2x+3)e^{-x}=0. \] Or \[ e^{-x}>0 \] pour tout réel \(x\). Ainsi : \[ 2x+3=0, \] d'où \[ x=-\frac32. \] La courbe coupe donc l'axe des abscisses au point \[ \boxed{A\left(-\frac32;0\right)}. \]
On résout : \[ (2x+3)e^{-x}=0. \] Or \[ e^{-x}>0 \] pour tout réel \(x\). Ainsi : \[ 2x+3=0, \] d'où \[ x=-\frac32. \] La courbe coupe donc l'axe des abscisses au point \[ \boxed{A\left(-\frac32;0\right)}. \]
Bilan : cet exercice mobilise successivement composition de limites, croissance comparée, dérivation d'une exponentielle composée, dérivation d'un produit, étude du signe de \(f'\), variations, extremum et équation de tangente.