50 limites de suites

On factorise : \[ u_n=n^2\left(1-\frac2n\right). \] Or \(n^2\to+\infty\) et \(1-\frac2n\to1>0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On factorise par \(n^4\) : \[ u_n=n^4\left(-3+\frac5{n^2}+\frac6{n^3}-\frac1{n^4}\right). \] On a \(n^4\to+\infty\) et la parenthèse tend vers \(-3<0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to-\infty}. \]

On factorise le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) : \[ u_n=\frac{n^2\left(6+\frac3n+\frac5{n^2}\right)} {n^2\left(-2+\frac5n-\frac1{n^2}\right)} =\frac{6+\frac3n+\frac5{n^2}}{-2+\frac5n-\frac1{n^2}}. \] Le numérateur tend vers \(6\) et le dénominateur vers \(-2\neq0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to-3}. \]

On factorise : \[ u_n=\frac{n^7\left(9-\frac5{n^3}+\frac1{n^6}\right)} {n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)} =n^5\frac{9-\frac5{n^3}+\frac1{n^6}}{1+\frac1{n^2}}. \] On a \(n^5\to+\infty\) et le quotient entre parenthèses tend vers \(9>0\). Conclusion : par produit et quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On factorise par \(n\) : \[ u_n=n\left(1-\frac{\sqrt n}{n}\right) =n\left(1-\frac1{\sqrt n}\right). \] Or \(n\to+\infty\) et \(1-\frac1{\sqrt n}\to1>0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On écrit \(n\sqrt n=n^2/\sqrt n\), puis on factorise : \[ u_n=n^2\left(-2+\frac1{\sqrt n}\right). \] On a \(n^2\to+\infty\) et \(-2+\frac1{\sqrt n}\to-2<0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to-\infty}. \]

On peut écrire \[ u_n=n^8\left(6+\frac3{n^7}\right). \] Or \(n^8\to+\infty\) et \(6+\frac3{n^7}\to6>0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On factorise : \[ u_n=n^6\left(2+\frac3{n^2}-\frac5{n^6}\right). \] Or \(n^6\to+\infty\) et la parenthèse tend vers \(2>0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On factorise chacun des deux facteurs : \[ 6n^8+3n=n^8\left(6+\frac3{n^7}\right)\to+\infty, \] et \[ 2n^6+3n^4-5=n^6\left(2+\frac3{n^2}-\frac5{n^6}\right)\to+\infty. \] Conclusion : par produit de deux suites tendant vers \(+\infty\), \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On écrit \[ u_n=-n^2\cdot n\sqrt n. \] On a \(n^2\to+\infty\) et \(n\sqrt n\to+\infty\), donc \(n^2n\sqrt n\to+\infty\). Conclusion : en prenant l'opposé, \[ \boxed{u_n\to-\infty}. \]

On étudie chaque terme : \[ \frac2n\to0,\qquad -\frac8{n^2}\to0,\qquad \frac1{n^3}\to0. \] Ainsi \[ 5+\frac2n-\frac8{n^2}+\frac1{n^3}\to5+0-0+0. \] Conclusion : par somme de limites, \[ \boxed{u_n\to5}. \]

On a \[ 3\sqrt n\to+\infty,\qquad \frac5{\sqrt n}\to0,\qquad -6\to-6. \] Donc \(3\sqrt n+\frac5{\sqrt n}\to+\infty\), puis l'ajout de \(-6\) ne change pas cette divergence. Conclusion : par somme de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On a \[ 8-\frac1{\sqrt n}\to8 \quad\text{et}\quad 4+\frac3n\to4\neq0. \] Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to\frac84=2}. \]

On factorise l'expression placée au carré : \[ -3n^2-2n+1=n^2\left(-3-\frac2n+\frac1{n^2}\right)\to-\infty. \] Ainsi sa valeur absolue tend vers \(+\infty\), et son carré aussi. Conclusion : par composition avec la fonction carré, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On a \[ 4+\frac1n\to4. \] La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) est continue en \(4\). Conclusion : par composition des limites, \[ \boxed{u_n\to\sqrt4=2}. \]

On factorise \(n\) au numérateur et au dénominateur : \[ u_n=\frac{n\left(2+\frac5n\right)}{n\left(3-\frac2n\right)} =\frac{2+\frac5n}{3-\frac2n}. \] Le numérateur tend vers \(2\), le dénominateur vers \(3\neq0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to\frac23}. \]

On simplifie le dernier quotient : \[ \frac{2n}{n^2+5} =\frac{\frac2n}{1+\frac5{n^2}}\to0. \] De plus \(\frac n4\to+\infty\) et \(-2\) est constant. Conclusion : par somme de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On factorise par \(n^2\) : \[ u_n=\frac{n^2\left(-3+\frac2n+\frac1{n^2}\right)} {2n^2\left(1+\frac1n\right)^2} =\frac{-3+\frac2n+\frac1{n^2}} {2\left(1+\frac1n\right)^2}. \] Le numérateur tend vers \(-3\) et le dénominateur vers \(2\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to-\frac32}. \]

On divise numérateur et dénominateur par \(n^2\) : \[ u_n=\frac{\frac{10}{n}-\frac3{n^2}}{1-\frac2{n^2}}. \] Le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(1\neq0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

On factorise : \[ u_n=\frac{n^2\left(2-\frac1{n^2}\right)} {n\left(3+\frac2n\right)} =n\frac{2-\frac1{n^2}}{3+\frac2n}. \] Le quotient tend vers \(\frac23>0\) et \(n\to+\infty\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On met au même dénominateur : \[ u_n=\frac{3n^2-4-3n(n+1)}{n+1} =\frac{-3n-4}{n+1}. \] Puis on divise par \(n\) : \[ u_n=\frac{-3-\frac4n}{1+\frac1n}. \] Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to-3}. \]

Comme \(n+2>0\), \[ u_n=\frac{\sqrt{n+2}}{n+2} =\frac{\sqrt{n+2}}{\left(\sqrt{n+2}\right)^2} =\frac1{\sqrt{n+2}}. \] Or \(\sqrt{n+2}\to+\infty\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

On factorise \(n\) : \[ u_n=\frac{n(\sqrt n+1)}{n\left(1-\frac2n\right)} =\frac{\sqrt n+1}{1-\frac2n}. \] Le numérateur tend vers \(+\infty\), le dénominateur vers \(1>0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On factorise par \(n^2\) : \[ u_n=n^2\left(-1+\frac1{n^{3/2}}\right). \] On a \(n^2\to+\infty\) et la parenthèse tend vers \(-1<0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to-\infty}. \]

On divise par \(n^2\) : \[ u_n=\frac{\frac2n+\frac1{n^2}}{3+\frac1{n^2}}. \] Le numérateur tend vers \(0\), le dénominateur vers \(3\neq0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

On factorise : \[ u_n=\frac{n^3\left(4-\frac5{n^3}\right)} {n^2\left(2+\frac1{n^2}\right)} =n\frac{4-\frac5{n^3}}{2+\frac1{n^2}}. \] Le quotient tend vers \(2>0\) et \(n\to+\infty\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On divise numérateur et dénominateur par \(n^2\) : \[ u_n=\frac{-3-\frac1n+\frac7{n^2}}{2-\frac1{n^2}}. \] Le numérateur tend vers \(-3\) et le dénominateur vers \(2\neq0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to-\frac32}. \]

On simplifie par \(\sqrt n>0\) : \[ u_n=\frac{-4n+3}{\sqrt n} =-4\sqrt n+\frac3{\sqrt n}. \] Or \(-4\sqrt n\to-\infty\) et \(3/\sqrt n\to0\). Conclusion : par somme de limites, \[ \boxed{u_n\to-\infty}. \]

On divise le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt n\) : \[ u_n=\frac{\frac5{\sqrt n}-1}{1+\frac1{\sqrt n}}. \] Le numérateur tend vers \(-1\) et le dénominateur vers \(1\neq0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to-1}. \]

On divise par \(n^2\) : \[ u_n=\frac{\frac1{n^2}+\frac{\sqrt n}{n^2}}3 =\frac13\left(\frac1{n^2}+\frac1{n^{3/2}}\right). \] Les deux fractions tendent vers \(0\). Conclusion : par somme puis produit de limites, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

Comme \(-1\le\sin n\le1\), \[ n^2-1\le n^2-\sin n\le n^2+1. \] En divisant par \(n+1>0\), \[ \frac{n^2-1}{n+1}\le u_n\le\frac{n^2+1}{n+1}. \] Or \[ \frac{n^2-1}{n+1}=n-1\to+\infty. \] Conclusion : par comparaison (forme du théorème des gendarmes pour \(+\infty\)), \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

Le terme \((-1)^n\) n'a pas de limite. On l'encadre : \[ -1\le(-1)^n\le1. \] En multipliant par \(-1\), \[ -1\le-(-1)^n\le1. \] Puis en ajoutant \(n^2\), \[ n^2-1\le u_n\le n^2+1. \] Les deux suites d'encadrement tendent vers \(+\infty\). Conclusion : par le théorème des gendarmes, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On utilise \(-1\le\sin(n^2)\le1\). Comme \(n>0\), \[ -\frac1n\le\frac{\sin(n^2)}n\le\frac1n. \] Or \[ -\frac1n\to0\qquad\text{et}\qquad\frac1n\to0. \] Conclusion : par le théorème des gendarmes, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

Le terme \((-1)^n\) n'a pas de limite, donc on l'encadre : \[ -1\le(-1)^n\le1. \] Comme \(n+2>0\), \[ -\frac1{n+2}\le\frac{(-1)^n}{n+2}\le\frac1{n+2}. \] Les deux bornes tendent vers \(0\). Conclusion : par le théorème des gendarmes, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

On sait que \[ -1\le\cos n\le1. \] En prenant les opposés : \[ -1\le-\cos n\le1. \] Puis en ajoutant \(n\) : \[ n-1\le n-\cos n\le n+1. \] Or \(n-1\to+\infty\) et \(n+1\to+\infty\). Conclusion : par le théorème des gendarmes, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

Comme \(-1\le\sin n\le1\), \[ n^2-1\le n^2+\sin n\le n^2+1. \] Puisque \(n+5>0\), \[ \frac{n^2-1}{n+5}\le u_n\le\frac{n^2+1}{n+5}. \] On factorise les deux bornes par \(n\) ; elles tendent toutes deux vers \(+\infty\). Conclusion : par le théorème des gendarmes, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On sait que \(-1\le\cos(2n)\le1\), donc \[ -1\le-\cos(2n)\le1. \] En ajoutant \(-n\), \[ -n-1\le -n-\cos(2n)\le -n+1. \] Les deux suites d'encadrement tendent vers \(-\infty\). Conclusion : par le théorème des gendarmes, \[ \boxed{u_n\to-\infty}. \]

On développe puis on factorise par \(n^2\) : \[ u_n=\frac{2n^2+4n}{n^2+2n+1} =\frac{2+\frac4n}{1+\frac2n+\frac1{n^2}}. \] Le numérateur tend vers \(2\), le dénominateur vers \(1\neq0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to2}. \]

On sait que \(0<0{,}8<1\), donc \[ 0{,}8^n\to0. \] Ainsi \[ 3+0{,}8^n\to3>0 \quad\text{et}\quad n\to+\infty. \] Conclusion : par quotient d'une suite tendant vers \(+\infty\) par une suite tendant vers \(3>0\), \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

On factorise par \(n^3\) : \[ u_n=n^3\left(1-\frac1n+\frac4{n^3}\right). \] On a \(n^3\to+\infty\) et la parenthèse tend vers \(1>0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to+\infty}. \]

Le terme \((-1)^n\) n'a pas de limite. On l'encadre : \[ -1\le(-1)^n\le1. \] Comme \(2n+1>0\), \[ -\frac1{2n+1}\le u_n\le\frac1{2n+1}. \] Les deux bornes tendent vers \(0\). Conclusion : par le théorème des gendarmes, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

On divise chaque terme par \(4^n\) : \[ u_n=\frac{3^n}{4^n}+\frac{2^n}{4^n} =\left(\frac34\right)^n+\left(\frac12\right)^n. \] Comme \(0<\frac34<1\) et \(0<\frac12<1\), les deux suites géométriques tendent vers \(0\). Conclusion : par somme de limites, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

On factorise par \(n^2\) : \[ u_n=n^2\left(-1+\frac3n+\frac5{n^2}\right). \] On a \(n^2\to+\infty\) et la parenthèse tend vers \(-1<0\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to-\infty}. \]

Le terme \((-1)^n\) n'a pas de limite. On l'encadre : \[ -1\le(-1)^n\le1. \] Comme \(n^2>0\), \[ -\frac1{n^2}\le\frac{(-1)^n}{n^2}\le\frac1{n^2}. \] Les deux bornes tendent vers \(0\). Conclusion : par le théorème des gendarmes, \[ \boxed{u_n\to0}. \]

On factorise par \(5^n>0\) : \[ u_n=5^n\left[\left(\frac35\right)^n-1\right]. \] Comme \(0<\frac35<1\), \[ \left(\frac35\right)^n\to0, \] donc le crochet tend vers \(-1<0\), tandis que \(5^n\to+\infty\). Conclusion : par produit de limites, \[ \boxed{u_n\to-\infty}. \]

On factorise \(n^2\) au numérateur et au dénominateur : \[ u_n=\frac{5-\frac3n+\frac1{n^2}} {2+\frac1n-\frac4{n^2}}. \] Le numérateur tend vers \(5\), le dénominateur vers \(2\neq0\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to\frac52}. \]

La forme \(\infty-\infty\) ne permet pas de conclure directement. On rationalise : \[ u_n=\frac{(\sqrt{n^2+3n}-n)(\sqrt{n^2+3n}+n)} {\sqrt{n^2+3n}+n} =\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}. \] On factorise \(n\) dans la racine : \[ \sqrt{n^2+3n}=n\sqrt{1+\frac3n}, \] donc \[ u_n=\frac3{\sqrt{1+\frac3n}+1}. \] Conclusion : par quotient et composition de limites, \[ \boxed{u_n\to\frac32}. \]

On rationalise : \[ u_n=n\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)} {\sqrt{n^2+1}+n} =\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}. \] Puis \[ \sqrt{n^2+1}=n\sqrt{1+\frac1{n^2}}, \] d'où \[ u_n=\frac1{\sqrt{1+\frac1{n^2}}+1}. \] Conclusion : par quotient et composition de limites, \[ \boxed{u_n\to\frac12}. \]

On simplifie par \(5^n>0\) : \[ u_n=\frac{2^n}{5^n}+\frac{5^n}{5^n} =\left(\frac25\right)^n+1. \] Comme \(0<\frac25<1\), \[ \left(\frac25\right)^n\to0. \] Conclusion : par somme de limites, \[ \boxed{u_n\to1}. \]

La forme \(\infty-\infty\) nécessite une transformation. On rationalise : \[ u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)} {\sqrt{n+1}+\sqrt n} =\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \] Le dénominateur tend vers \(+\infty\). Conclusion : par quotient de limites, \[ \boxed{u_n\to0}. \]