On considère la suite numérique (un) définie par son premier terme u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par :
un+1 = 2un + 1un + 2.
On admet que la suite (un) est bien définie.
1. Calculer le terme u1.
2. On définit la suite (an), pour tout entier naturel n, par :
an = unun − 1.
On admet que (an) est bien définie.
a) Calculer a0 et a1.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, an+1 = 3an − 1.
c) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, an ≥ 3n − 1.
d) En déduire la limite de la suite (an).
3. On souhaite étudier la limite de la suite (un).
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,
un = anan − 1.
b) En déduire la limite de la suite (un).
4. On admet que la suite (un) est décroissante. On considère le programme suivant écrit en langage Python :
def algo(p):
u = 2
n = 0
while u - 1 > p:
u = (2*u + 1)/(u + 2)
n = n + 1
return (n, u)
Donner, en justifiant, ce que retourne le programme pour p = 0,01.
Compétences mobilisées : suite définie par récurrence, suite auxiliaire, calcul algébrique, raisonnement par récurrence, minoration, limites, transformation d’expression et programmation Python.